作者：袁向东，李文林
来源：《自然科学史研究》第1卷第4期（1982年）
（一）克莱茵的理想
1886年，克莱茵受聘来到格廷根大学。当时，他曾同时收到美国霍普金斯大学的聘书。克莱茵因神往高斯、黎曼的伟大传统，毅然选择了格廷根大学，并决心按照这一传统把格廷根建设成欧洲的学术中心。
克莱茵的科学成就使他具备了担当这一重任的资格。他二十三岁就任埃尔兰根大学数学教授，并发表了著名的“埃尔兰根纲领”，首次提出将各种几何看作是各种群的不变量的理论，揭示了似乎极不相同的几何之间的统一形式，引起了数学观念的深刻变革。他还和法国数学家庞加莱（H. Poincard）各自独立地创立了自守函数理论。单是这两项工作已足以使他在科学界享有殊荣，何况他的工作广泛涉及数论、代数、几何、函数论、不变量理论以及应用数学等广阔领域。
图1 克莱因
如果克莱茵像高斯一样只关注个人的数学创造，那他就不可能从根本上改变格廷根的面貌。幸好，克莱茵的创造天才同组织能力完美地融为一体，他洞察到了时代赋于数学的重任，在格廷根进行了一系列科学组织活动，这对格廷根数学的繁荣有特殊的意义：
1、罗致和提拔人才，建立实力雄厚的数学教授班子。最早被克莱茵选中，也是最重要的年轻数学家是希尔伯特。1888年，二十六岁的希尔伯特用非构造的存在性证明，解决了困扰代数学家达二十年之久的“果尔丹问题”。当时有人称他的方法是“神学’而不予接受；目光敏锐的克莱茵一眼看出了这个青年的不同寻常的数学才华，热情地称道他的方法 “非常简明，在逻辑上是不可抗拒的”。克莱茵还亲自把希尔伯特的论文带到国际会议中去推荐。1895年，正好是高斯到达格廷根大学后的第一百年，希尔伯特被克莱茵请到了高斯的大学。后来的事实证明，此举对格廷根有不可估量的意义。
在德国，大学教授数目是固定的。克莱茵为了广揽人才，利用个人影响，使教育部同意在格廷根采取增设数学教授席位的非常措施。于是，闵可夫斯基（H. Minkowski）调来了。他使格廷根继高斯之后又取得了世界数论研究中心的地位。闵可夫斯基还为相对论的数学表述奠定了基础，爱因斯坦说“闵可夫斯基第一个认识到空间和时间坐标形式的等价性，并使它们可以用来发展相对论。”1904年，也是经克莱茵的努力，格廷根又设立了德国大学中第一个应用数学教授席位，以谱线测量闻名的物理学家尤格（Carl Runge）应邀就任，他后来在解析函数多项式逼近论方面著称于世。
2、创立数学研究所。1922年前，德国大学中的数学和自然科学教授均隶属于哲学系教授会，这不利于数学研究的发展。从1914年起，克莱茵就向教育部提出申请，要求筹建专门的数学研究所，并获得批准。由于第一次世界大战的影响，这项计划直到1929年才最终完成。
3、创立格廷根应用数学和技术促进协会。该协会由科学家和经济界领导人（包括经济学家和工业家）联合组成，这是科学史上第一个把科学界同经济界联系起来的组织。普鲁士教育部主管人阿尔道夫、斯密特•奥托是协会的支持者。在协会协助下，格廷根大学成立了一系列科学技术研究所，如航空和流体力学研究所，应用电学研究所，地球物理研究所等，它们成了后来美国在大学周围建立科学技术复合体的楷模。
4、组织科学教育改革和普及数学知识。克莱茵亲自参与制定改进和扩大德国中学科学教育的计划；提倡第一流数学家向非数学专家作通俗讲演;组织编纂三十巻的数学辞典。以提高全社会的科学与数学水平。
克莱茵的工作促成了格廷根的学术繁荣，但他也存在某些弱点。学术上，他的综合能力有余，分析能力不足；他善于居高临下发现新大陆，但缺少深入开发的耐心。作风上，他往往使人感到过于威严而难于无拘束地交往，特别到晚年，学生们甚至把他比作“远在云端的神”。因此，如果没有希尔伯特的工作，克莱茵将格廷根建成欧洲数学研究中心的理想，也许不会那样成功。
（二）希尔伯特的贡献
希尔伯特具有与克莱茵不同的风格。希尔伯特典型的研究方式是直接攻克数学中的具体问题，从中寻找带普遍性的方法、开辟新的研究领域。为了理解他对现代数学的影响和他给格廷根带来的科学魅力，我们需要简单列举他在数学方面所做的工作。
图2 希尔伯特
1、彻底解决代数不变量问题。（1888-1893）希尔伯特采用直接的、非算法的方法，证明了不变量系有限整基的存在定理（即果尔丹问题）。这一革命性方法“预示并孕育 了二十世纪那门叫抽象代数的学科。”正是在希尔伯特的影响下，爱米•诺德（A. E. Noether， 1882-1935）二十年代在格廷根组织起强大的抽象代数学派。
2、代数数域论。（1894-1899）这方面的代表作是1897年向德国数学会提交的《数论报告》。希尔伯特用新的统一的观点，总结了以往代数论的全部知识，并抓住互反律这个中心问题，从特殊上升到一般，为同调代数和类域论奠定了基础。类域论后经汉塞尔、高木贞治等青年数学家推进而成一门完美的学科。
3、几何基础。（1899-1903）希尔伯特精确地提出了公理系统的无矛盾性、独立性和完备性问题，发展了现代公理化方法。公理化方法作为一种强有力的研究手段在现代数学中被广泛釆用，对二十世纪数学发展有深远的影响。
4、狄里克莱原理和变分法。1940年，希尔伯特用对角线法证明了狄里克莱原理，解决了它的适用范围问题。而在此之前，该原理因魏斯特拉斯的批判而被数学家闲置不用。希尔伯特的工作丰富了变分法的经典理论，对变分法的发展作出了重大贡献。
5、积分方程论和无穷维空间理论。（1904—1912）希尔伯特发展了弗雷德霍姆的积分方程论，在这一理论与二次型主轴化的代数理论之间确立了它们的相似性，并综合运用分析、几何和代数方法，发展了特征函数和特征值理论。正是在这里，希尔伯特开辟了把函数空间按连续函数的正交基坐标化的途径，并提出具有平方收敛和的数列空间的概念，即著名的希尔伯特空间。希尔伯特还发现并巧妙地处理了算子的“谱”理论。上述工作经费希尔、吕兹、冯•诺伊曼（J. V. Neumann 1903—1957）和斯通等人发展成为现代泛函分析的系统的线性空间方法。
同一时期，希尔伯特还证明了数论中的华林猜想。
6、数学基础。（1918年后）这方面的研究是他早期关于几何基础工作的自然发展，其主要思想被概括为所谓的“形式主义计划”。按照这一计划，数学理论被表现为仅由符号、公式和公理组成的无矛盾形式系统，希尔伯特提出“证明论”（metamathematics，或称“元数学”）作为证明形式系统无矛盾性的途径。1931年，奥地利数学家哥德尔（Kurt GSdel）证明希尔伯特这条路是行不通的。但正如哥德尔本人所指出的，希尔伯特关于数学基础的计划仍不失其重要性，并将继续引起人们高度的兴趣。数学基础的研究，后来超出了希尔伯特的方案，并发展成内容丰富的一个专业。
由于希尔伯特的业绩，他作为德国数学界的领头人是当之无愧的，另一方面，他的个人素质和学术作风，也象磁石一样吸引着青年数学家。首先，他不特别看重学生的天赋，而强调李希登堡的名言“天才就是勤奋”，他本人就是证明。他的讲课体现了重视基础知识和技巧的特点。其次，同克莱茵不同，他十分平易近人，跟学生、助手和同事之间有相当融洽的关系。尤其难得的是他憎恶一切政治的、种族的和传统的偏见，坚持以学术标准衡量科研成果。在第一次世界大战初，他冒着极大的风险，拒绝在德国政府为帝国主义战争辩护的“宣言”上签字；战争期间，他又勇敢地发表悼词，悼念交战国法国的数学家达布的逝世;他曾力排众议，为爱米•诺德女士争取当教师的权利，而不顾当时格廷根没有女性担任讲师的先例；他对希特勒的排犹运动也表示了极大的愤慨，如此等等，都使他作为一位主张正义的科学家而受到普遍的尊敬。
在克莱茵和希尔伯特的影响和努力下，本世纪初的三十年间，格廷根终于成为名副其实的数学研究和教育的国际中心。在涌向格廷根的优秀青年中，有赫尔曼•魏依尔 （Hermann Weyl）、艾哈德•史密特（Erhard Schmidt）、卡拉泰渥笃利（Constantin CaratMo- dory）、库朗（Richard Courant）、策墨罗（Ernst Zermelo）、高木贞治、麦克思•玻恩（Max Born）、冯•劳厄（Max von Laue），等等，他们后来都成了第一流的数学家或物理学家。格廷根对美国数学影响尤深，据统计，1862至1934年间获外国学位的美国数学家114人中，有34人是在格廷根获博士学位的；后来有五位担任美国数学会的会长，他们是克莱茵的学生。“格廷根数学俱乐部”经常举行学术交流活动，凡国内外作出最新重要成就的数学家（甚至包括物理学家），都被邀请来作学术报告。对于从事数学研究的人们来说，格廷根当时确是一个值得向往的地方。
图3 1911年的格廷根圈子