将自然数以螺旋形式排列，并标出其中的素数，我们就能看到一个迷人且奇妙的图形，称之为“乌兰螺旋”（Ulam spiral）
2012年，日本东京大学（Kyoto University）的数学家望月新一（Shinichi Mochizuki）在发表了一篇长达500页的论文来证明abc猜想（abc conjecture）。此猜想提出了一个整数之间的关系式，是一个“丢番图”问题（'Diophantine' problem）。
abc猜想是由大卫·麦瑟尔（David Masser）和约瑟夫·厄斯特勒（Joseph Oesterle）在1985年分别独立提出的。abc猜想或许并不被人们所熟知，没有费马大定理（Fermat's Last Theorem）知名度高，但是在某些方面它却更为重要。美国哥伦比亚大学数学家多利安·戈德费尔德（Dorian Goldfeld）说：“如果abc猜想得到证实，将一举解决众多著名的丢番图问题，这其中就包括费马大定理”。他还说道：“如果望月新一的证明是正确的话，这将是21世纪最令人震惊的数学成就之一。”
与费马定理相似，abc猜想中同样涉及到a+b=c的关系式。其中，需要指出的一个概念就是无平方因子数（square-free number），所谓无平方因子数是指不能被任何整数的平方（除了1以外）整除的数。例如，15和17就是无平方因子数，但是16和18却不是，它们分别能够被4和3的平方整除。
数字n的“无平方因子”部分记为sqp(n)，是指用n的素数因子相乘所得到的最大无平方因子数。例如，sqp(18)=2×3=6。
如果你能明白这一点，那么理解abc猜想就不成问题了。在abc猜想中，首先考虑三个整数a、b、c的乘积a×b×c，或者简写为abc；然后，计算这个乘积的无平方因子部分sqp(abc)，它与a、b、c三者的特有素数因子相关。abc猜想描述如下：有任意整数a、b，令 c=a+b，那么存在大于1的常数r，使得比值sqp(abc)r/c总是大于0。举个例子，假如a=3，b=125，因此c=128，sqp(abc)=30 ，那么存在r=2，使sqp(abc)2/c= 900/128>0。此外，如果取r=2，那么对任意整数a、b，sqp(abc)2/c总是大于1的，当然也大于0。
深层次的关联
abc猜想将许多丢番图问题都包含在其中，比如费马大定理。（费马大定理说的是：当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程，无正整数解）。同许多丢番图问题一样，abc猜想完全是一个素数之间关系的问题。斯坦福大学布拉恩·康拉德（Brian Conrad）曾说，“在a、b和a+b的素数因子之间存在着更深层的关联”。许多数学家都花费了大量的精力试图证明这一猜想。在2007年，在法国数学家吕西安·施皮罗（Lucien Szpiro）在1978年的研究工作的基础之上，首次宣布对abc猜想的证明，但很快就发现证明中存在着缺陷。
和施皮罗情况相似，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）曾在1994年对费马大定理做出了证明，但是望月新一曾运用椭圆曲线理论对这一问题提出过反驳——这一平滑曲线的代数表达式为y2=x3+ax+b 。
然而，望月新一的研究工作与前人的努力并没有太多关联。他建立了一套全新的数学方法，使用了一些全新的数学“对象”——这些抽象实体可类比为我们比较熟悉的几何对象、集合、排列、拓扑和矩阵，目前只有极少的数学家能够完全理解。就如同戈德费尔德所说：“在当今，他或许是唯一一个完全掌握这套方法的人。”
康拉德认为，这项研究工作“包含着大量的深刻思想，数学界要想完全理解消化需要花很长的时间”。整个证明包含四个长篇论文，每一篇都是建立在之前论文的基础上。“需要花费大量的时间来研读并理解这些深奥的长篇证明，所以我们不能仅仅关注此证明的重要性，更重要的是沿着作者的证明思路进行研究。”
望月新一取得的研究成果使得这一切努力都是值得的。康拉德说：“望月新一曾经成功证明过极为艰深的定理，并且他的论文表达严谨，论述周密。这些都使我们对于成功证明abc猜想充满了信心。”另外，他还补充道，所取得的成绩并不仅限于对此证明的确认。“令人感到兴奋的原因不仅仅在于abc猜想或许已被解决，更在于他所使用的方法和思想将会成为以后解决数论问题的有力工具。”