高考，毫无疑问，是每个学生的学习生涯中最重要的一场考试之一，它将在很大程度上影响一个人的人生轨迹，所以每一年高考的时候，许多高考题目都会成为全社会关注的热点。
而每一年的高考考试中，数学题目绝对是最受人关注的高考题目之一，总有些稀奇古怪的数学题目能吸引众人的目光，成为讨论的重点，尤其是每年考试中一些太难的，或者设下陷阱的题目，往往会被众人吐槽。
不过，大部分时候这些题目还是会有许多人能做对的。但是在1982年5月1日的一场美国高考中，有这样一道当之无愧的“送命题”，让参加考试的30万人中，只有3个人答对，甚至连出题人自己都做错了……
硬币悖论？
在继续聊这道让整整30万人折戟的“魔鬼题目”之前，我们不如先来思考这样一个问题：
假设我们有两个大小相同的1元硬币，将其上下整齐的摆放在一起。然后让下方的硬币保持不动，使上方的硬币绕着下方硬币旋转滚动一周回到原点，此时提问：上方的硬币在这一过程中转动了几周？（此处的转动的一圈指硬币自转360°。）
如果不加以思考，想当然的就说出答案的话，许多人的回答估计都是：硬币当然只会转一圈啦！
然而，只要我们自己拿出两个硬币试一下，你就可以清晰地发现，事情并没有那么简单，事实上，硬币最后是转了两周才回到起点的！
来源于https://www.youtube.com/watch?v=kN3AOMrnEUs&t=111s
这一有点反直觉的现象，就是近几个月来在网络上流传的“硬币悖论”，但是称其为“悖论”，实际上是不准确的。因为这个根本不算是严谨的“悖论”，而更像一个单纯的谬误罢了。
硬币确实是滚动了两周才回到原点的，按照我们刚刚手操的过程来看，实际上当上方的硬币绕着下方的硬币转到其周长的一半时，上方的硬币就已经转完一圈了。
而当年那道让近乎30万美国考生饮恨的题目，正是这样的一道“硬币悖论”。
美国高考”送命题“
这道题是这样的：
我们先来翻译一下题目，这道题是说，小圆A的半径是大圆B的半径的三分之一，如果小圆A绕着大圆B滚动一周，直至回到它的原位，那么小圆A在运动过程中一共旋转了几周？（此处的旋转一周指的是小圆A自转了360°。）
题目给出的答案分别为a： b：3 c：6 d： e：9
当时大部分的考生，准确来说基本上是除了3位做对的考生和根本不知道正确答案乱蒙的考生，甚至包括这道题的出题人，都选的是b，也就是说认为小圆A转了3圈。
然而，根据我们之前对硬币悖论的讲解来看，小圆转动的圈数很有可能并不是3圈。同样的，我们也可以继续来实际操作一下，很明显的是，小圆绕着大圆滚到大圆周长的四分之一的时候，小圆就已经转了一圈了……
来源于https://www.youtube.com/watch?v=kN3AOMrnEUs&t=111s
最后能很明显的看出来，小圆实际上是转了4圈的。不过非常离谱的一点就在于,这道题的5个答案中，实际上就没有能够选“4”的这个选项！也就是说，就连出题人都把这道题给做错了，他也没想到小圆实际上转了4圈！
这也侧面证明了做对这道题的三个人有多么厉害，因为原题中没写正确答案，所以这三个人不可能是普通的蒙对答案，而是在认真思考的基础上另外将正确答案写了上去！对答案没有一定的自信是不敢这样做的。
一开始，改卷人并没有发现这个问题，于是就把分数给了选“3”的考生。不过事后出卷方美国大学理事会（College Board）发现了这个错误，就把除了做对的3人之外的考生的分数给扣回去了。
纽约时报1982年5月25日对这次事件的报道
不过，虽然我们通过实际操作，已经知道了这样的一个圆绕着另一个圆转的答案并不像我们想的那样简单，但是，为什么呢？为什么外面绕着转的圆似乎总是会多转一圈呢？
别急，我们这就来看看这种硬币悖论到底是怎样产生的。
悖论的成因与解替方法
事实上“硬币悖论”产生的原因非常的简单明了，以这道美国高考的数学题为例，假设我们将大圆B拉成一条直线b（就是说将其变为一个长度同大圆B周长相等的直线），然后将小圆A放在这个直线b上进行滚动。
因为大圆B的半径是小圆A的3倍，所以大圆B的周长也是小圆A的3倍，又因为直线b的长度其实就是大圆B的周长，所以如果小圆A从直线b的一头滚到另一头，那么在这个过程中小圆A一定是会转3周的。
但是当我们把直线b变回大圆B，再让小圆A来滚的话，因为现在它需要滚的路程已经不是一条直线了，而是一个圆，所以除了小圆A本身滚完这个路程所需要转的三圈之外，小圆要回到原点自身还必须另外转360°！
如果这样讲还是觉得有点理解不了的话，那我们再换个思路来看这个问题：同样是先假设有一个周长为1的圆，我们让这个圆在一条长度为1的直线上滚动，滚完这条直线的路程，这个圆是转了一周的。
来源于https://www.bilibili.com/video/BV11X4y1V7GR
那如果我们接下来将这条直线换成一个边长为1的等边三角形，再让圆去绕着它的边进行滚动，滚过三条边的话，小圆又会转动几周呢？
三周吗？并不是。因为圆在三角形的每个角进行拐弯的时候，它的圆心实际上还发生了120°的旋转！而圆本身拐过了三个角，也就是说这个圆在运动过程中，还另外转了360°！也就是说最终的结果应该是走完周长转的3周再加上转过三个拐角转的360°，也就是4周！
来源于https://www.bilibili.com/video/BV11X4y1V7GR
同理，再把等边三角形换成边长为1的正方形，绕着正方形边进行滚动的圆最终转动的周数就是走完周长转的4周，再加上转过四个拐角转的4个90°，最终结果是转了5周。
来源于https://www.bilibili.com/video/BV11X4y1V7GR
以此类推，我们将边数扩大到正五边形、正六边形、正七边形……，圆在运动过拐角时，都要转动一个弧度，最终这些弧度相加，圆总要多转一个360°，所以圆除了走完周长转的圈数外，永远还要多转一圈。
我们可以一直增加这个多边形的边数，将这个多边形的边数扩展到无穷大无穷大，直至多边形增加到近乎于一个圆，这时同样，假如一个圆要绕着这个多边形滚动的话，毫无疑问除了本身圆要走过的周长之外，它还要多转一圈。
这类似于“割圆术”，不过这样来看的话，相信就不难理解为什么在“硬币悖论”这一类型的题目中，外边绕着的圆总是会多转一圈了吧。是不是觉得突然豁然开朗了？
既然知道了为什么会产生硬币悖论，那我们也能很简单的得到一个来解决这种类型题目的公式，我们将外面绕着转的圆称为公转圆，那么最终公转圆所转的周数，就等于公转圆圆心运动过程中画出来的半径除以这个公转圆的半径。
写得更明白的话，大概是这个样子：
以美国高考题为例，小圆A半径是1，大圆B半径是3，小圆A圆圆心所画半径就是4，除以小圆A的半径1，算出来的公转圆所转的周数就是4。怎么样？是不是觉得这种类型的题更简单了？
硬币悖论与我们的生活
虽然可能很多人直到今天才听说有这么一个“硬币悖论”和这道“送命题”的存在，但事实上，这种类型的问题其实与我们的生活息息相关。因为地球绕着绕着太阳的公转过程，实际上与“硬币悖论”中叙述的运动很相似。
许多人不知道的是，地球绕着太阳公转一周，实际上地球是自转了366周的！
至于为什么，则和“硬币悖论”中的原因类似，一年365天，但是地球会多自转一周，也就是自转了366周，因此，在天文学上我们才会把一天分为“太阳日”和“恒星日”，太阳日就是指通常人们认为的一天24小时，而一个恒星日的时间则是23时56分4.09秒。
就算是一些看上去跟自己完全无关的数学问题，也很有可能其实在自己的生活中扮演了十分重要的角色，所以这也是为什么我们应该学习数学，因为数学不仅仅只是解题的工具，更是一种能让我们更好地认识这个世界的有效途径。
所以，你还在等什么？还不快快去学习数学？
写在最后
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https://baike.baidu.com/tashuo/browse/content?id=f39dc6c735712c4078767977
https://www.youtube.com/watch?v=kN3AOMrnEUs&t=111s
https://en.wikipedia.org/wiki/Coin_rotation_paradox#:~:text=The%20coin%20rotation%20paradox%20is%20the%20counter-intuitive%20observation,table%2C%20with%20their%20%22head%22%20sides%20displayed%20and%20parallel.
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