连续性方程可以说是所有科学中应用最频繁的方程之一，几乎无处不在。从空气动力学和流体力学一直到电磁学和量子力学，这个方程主导了大多数的物理学领域。但是，这个方程究竟在直观层面上揭示了什么，为什么它如此重要？
简介
连续性方程是描述某种量w守恒传输的微分方程。
连续性方程的一般形式如下：
其中
- 是单位体积内w量的数量，即其密度。
- j是数量w的通量。
- σ描述了w的产生（或移除）。
我们应该立即注意到的第一件事是，数量w没有被指定。因此，连续性方程本身并不是一个具体的方程，而是一种关于守恒量传输的方程的一般结构。
但在我们深入研究连续性方程的复杂性和应用之前，让我们退一步，建立必要的理论背景，以便更好地理解我们将要讨论的一切。
理论背景
强度性质（intensive property）和广度性质（extensive property）
我们可以把材料和系统的物理特性分为强度性质和广度性质
强度性质不取决于系统的大小或系统中材料的数量。强度性质的例子包括：
- 温度，T
- 密度，ρ
- 折射率，n
- 一个物体的硬度，η
- 沸点
相比之下，广度性质依赖于系统大小或系统中材料的数量。广度性质被认为是子系统的可加性。广度性质的例子包括：
- 质量，m
- 体积，V
- 长度，L
- 重量，w
考虑到这些定义，我们可以给出连续性方程一个更普遍的定义。
例如，如果我们要处理的强度性质是质量密度，那么这个方程就是简单的质量守恒的表述：质量的变化是离开边界的东西和出现在边界内的东西的总和；没有任何质量是不被考虑的。
通量
在传输现象中，通量被定义为单位面积上一个量的流动速率。简单地说，通量就是在单位时间内，单位面积内流动的量。
在物理学中，有很多种类的通量。例如，我们将电通量定义为电场流经特定区域的速度。如果我们想用数学方法计算通量，我们必须采取表面积分，这也被称为通量积分。
有一个重要的通量公式，在许多不同的情况下都会出现。假设有一个非常小的体积元素，其长度用Δx表示，其宽度用Δy表示，其高度用Δz表示。其所有的侧表面的面积为ΔA。
- 体积元
我们知道，假设有一个量w——可以是质量、电荷等，正通过x方向流动，如上图所示。
在一个无限短的时间dt内，一个无限少的量dw_in，流入体积，另一个无限少的的量dw_out，正在离开体积。
现在，如果w以速度v_in进入体积元素，那么在时间dt内，它已经走过了一个无限小的距离dx_in。因此，现在的无限小体积等于dx_in乘以ΔΑ。最后，我们可以定义量w的体积密度，ρ。下面是我们到目前为止所说的所有数学公式：
现在让我们做一些数学上的运算，以便得出一个通量的公式。
我们现在已经得出了一个一般的公式，因为还没有指定数量w具体是什么。
为了在数学上更加精确，我们可以取极限，当体积趋于0时，Δx， Δy， Δz， ΔA分别变成dx, dy, dz, da，最终得到：
这里：
菲克定律和扩散方程
首先，让我们回答一个基本问题。
什么是扩散？
扩散是任何东西（例如，原子、离子、分子、能量）从高浓度区域向低浓度区域的净移动。
例如，有一个房间，在它的一个角落释放一团气体，然后气体会扩散，在一段有限的时间内填满整个房间。它会从浓度较高的区域（气体所在初始角落）移动到浓度较低的区域（房间的其余部分）。
扩散并不神奇。简单地说，由于在房间的初始角落里有许多气体粒子，那么这些粒子发生碰撞的概率就会更高。随着越来越多的碰撞发生，粒子将随机地散落在空间中。如果它们最终出现在没有很多其他粒子的区域，那么它们可能会留在那里，因为碰撞的概率大大降低。如果它们最终出现在同一个角落，它们可能会再次散开，直到它们弥漫整个房间。
但我们需要一种数学方法来表达这种过程。这就是菲克定律发挥作用的地方。
注意：在下面的方程式中，凡是你看到希腊字母φ（Phi）的地方，实际上就是密度ρ。Ι没能找到使用ρ的方程式的图像。
- 三维的菲克定律
我们现在可以使用这个通量公式，并将其代入连续性方程，以得出称为扩散方程的东西（为简单起见，我们假设Sigma=0）。
- 扩散方程
其中。
- Δ = ∇^2，拉普拉斯算子。
- D是一个比例常数，通常被称为扩散性。
- φ是体积密度。
扩散方程最常用的地方之一是热方程，热方程经常出现在工程和物理问题中。
连续性方程的更多应用
电磁学
- 连续性方程，电荷守恒
在电磁理论中，连续性方程是电荷守恒的一种表达。在这种情况下，强度量是体积电荷密度ρ，即每单位体积的电荷量，而通量是电流通量或通常所说的电流密度J。我们假设没有电荷的源和汇，因此σ=0。
流体动力学
- 连续性方程，质量守恒
在流体力学中，连续性方程基本上是一个数学表述，即质量进入一个系统的速度等于质量离开系统的速度。它是质量守恒的一种表达。强度量是流体的密度ρ，而乘积密度乘以速度就是我们已经讨论过的通量。我们再次假设没有质量的源和汇。
当我们处理不可压缩的流体（其密度在流动过程中不发生变化的流体）时，上面的方程可以进一步简化。由于流体的密度ρ是恒定的，那么它的导数就是零。此外，我们可以在发散项中剔除ρ，最后得到以下方程。
- 不可压缩流体的质量守恒
这是描述流体流动的两个著名的纳维尔-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）之一。
量子力学
- 连续性方程，概率守恒
任何研究过量子力学的人都知道，这都是关于概率的。我们从不确定粒子的属性（如它们的位置或它们的动量），试图计算它们具有特定值的概率。考虑到这一点，在整个空间守恒的量是概率密度。此外，我们可以定义该概率的通量，称为概率流。同样，σ=0。
最后
连续性方程是一种更强的局部形式的守恒定律。例如，能量守恒定律的一个弱化版本指出，能量既不能被创造，也不能被毁灭，即宇宙中的能量总量是固定的。这一说法并不排除这样的可能性：一定数量的能量可能从一个点消失，同时出现在另一个点。一个更有力的说法是，能量是局部守恒的：能量既不能被创造也不能被摧毁，也不能从一个地方 "传送 "到另一个地方，它只能通过连续的流动而移动。连续性方程是表达这种说法的数学方法。