摘要 / Abstract
文章把递归分成三个种类：物理递归、计算递归和人的智能递归。尽管它们都体现“复杂来自简单”或者“简单解释复杂”的自然原则，但人的智能实际上构成了一个与自然递归有本质区别的递归，因为后者从根本上是以二阶或者更高阶的规则来实现的。这种由火的掌握所带来的高阶递归使得人类思想文明摆脱了自然的有限性原则，从而实现思想的无限性。
关键词：递归；物理递归；机器递归；递归智能；二阶规则
火神庙
火神庙位于北京什刹海旁。始建于唐贞观六年（632），称为火德真君庙。庙内有殿宇阁三重，早年供奉火神、关帝和玉皇。这座火神庙是京城最早，也是唯一的皇家庙宇。香火旺盛，是过去皇家、达官贵人和当今民众禳灾祈福的地方（图1、图2）。
图1-2：北京火神庙
朱锐
我们这里把文化笼统地看作指导和建构人类行为的二阶规则。它和人的本能及一阶、自然的行为规则（如动物见到野火就会跑开——这是由遗传基因所编码的行为规则）相对应。一般说来，二阶规则是对一阶规则的表征、干涉以及在此基础上相对独立的自我演绎（见下文）。在火神庙，我们可以看到中华文化所用以自我演绎的各种关于火的二阶规则，包括对火神、火祭，火与自然、命运等关系的文化符号和神话表征。譬如火神祝融，同时也是南海的神，象征着火与水的“统一”，体现着中国人所特有的阴阳二元本体论。火神信仰，正如大多数文化符号一样，随着时代的变迁也不断吸取着新的元素和逻辑。人们在火神庙祈福，不仅仅是为了避免火灾和保护财产，也为了金榜题名、婚姻嫁娶、命运通达，等等。
火与文明的密切关系是众所周知的。火的二阶表征，应该是普遍的文化现象（图3）。古希腊人也重视火。著名的普罗米修斯神话，描述普罗米修斯把火从神那里偷出来，给了人类，因而遭到惩罚，被锁在高加索山巅，肝脏日日遭到鹰的啄食，而晚上又长回来。这种循环往复，似乎也印证着西方文化中比较典型的“重生”（包括“浴火重生”）的理念。中国人有类似的神话，却又具有相反的镜像模式。禹的父亲鲧为了治水，把息壤从天帝那里偷出来，建成坝来阻碍水的蔓延。帝怒，遣南海神祝融杀之。之所以遣祝融，估计是因为他管水，而鲧对水的阻碍也许有僭越之嫌。但祝融是火神，而不是水神。这其中的文化奥妙，有待我们继续揣测。
图3：藏传佛教中的火符号
二、二阶规则的演绎
总之，二阶规则是文化和人类心灵活动的本质。一方面，人和动物一样，都会对自己环境中所遇到的对象做各种身体和行为上的表征（包括神经表征）。在这个意义上，跑开是动物对火的一种行为表征。而这是一阶表征。另一方面，只有人类才会形成对表征的表征，即在概念上“画出”各种逻辑关系图式，来进一步表征自己的行为。这是表征的表征，是二阶表征。而由二阶表征所表达和建构的行为规则，是文化活动的基本机制。
在这个意义上，火文化是二阶规则文化。人在掌握火的过程中，根据自己对火的理解进行二阶表征，形成有关火的符号系统。其关键是火的掌握对建立人类心智在人类发展史上所起的作用。没有对火的掌握，人类心智就不具备文化符号所必需的二阶表征模式。之所以这样说，是因为火的使用包含着一个必然的二阶规则（即递归函数，见下文）。它要求人类不仅要理解火的特性（火的“破坏性”、“自生性”等），而且要求人类理解该理解，即对有关火的一阶行为规则（“跑”、“小心”等）进行二阶表征，从而进行干涉和修正（如“不再跑开”、“小心收集火种”等等）。
在详细说明这个道理之前，有必要举一个有关二阶规则的实例，以便有一个直觉上的理解。我们可以简单回顾一下艺术史上有名的关于女神维纳斯这个文化符号的演绎。我们把乔尔乔内和提香的《德累斯顿维纳斯》看成是演绎的第一步和“前提”（图4），而其中所表征的古典主义规则包括：（1）女神的“栖居”是在野外；（2）女神闭着眼睛，呈睡眠状态，这一方面体现着古典主义美的理念，另一方面又“拒绝”观众的眼神，保持距离。
图4：乔尔乔内，提香《德累斯顿维纳斯》
Google Art Project
第二步是提香的《乌尔比诺维纳斯》（图5）。这幅作品延续着《德累斯顿维纳斯》的古典主义美的表征，但在关键方面做了修改和“再演绎”：（1）改变维纳斯的“栖居”，把她放在室内，缩短了神与人的距离；（2）把“睡眠状态”归约为“睡眠姿势”，她的眼睛回应着人类的注视，富有挑逗和性暗示。不言而喻，提香的做法极其大胆，富有冒险主义精神。
图5：提香《乌尔比诺维纳斯》
Museo del Prado, Spain
第三步是戈雅的玛哈（《裸体玛哈》，图6）。在这里，主题依然是带有古典主义色彩的美，但画里不再是神，而是人，她的名字叫玛哈。戈雅因为这幅画遭到宗教裁判所审判，差点丢了性命。
图6：戈雅《裸体玛哈》
Francisco de Goya - The Nude Maja. On-line gallery. Museo del Prado (2012).
第四步是马勒的《奥林比亚》（图7）。和戈雅一样，马勒画的也是人。但黑人出现在图中。更有甚者，马勒画的不再是维纳斯式的美人，而是带有中性色彩、甚至不美或者“美的否定”。她的眼神和手的姿势带有敌意和拒绝的意味。马勒开始把“维纳斯美”的主题通过二阶演绎逐步带入女权和性解放、种族主义等更加复杂的文化领域。
图7：马勒《奥林比亚》
Musee d’Orsay
第五步，也算是最后一步，是对第四步的无情嘲讽。漫画家Bertall不懂马勒，也不懂艺术。即使如此，他对马勒的再演绎（图8），也是文化发展的一部分。文化主题的演绎，既可以把下里巴人推向阳春白雪，也可以化神奇为腐朽，把阳春白雪推向下里巴人。
这种二阶规则游戏，是文化的根本特征，也是人类心智活动的基本模式。上面所说的“演绎”，实际上就是我们在文学上所熟悉的“用典”（allusion）。而用典只是二阶规则演绎的一个特例。人类智能，基本上可以说是这种二阶表征层面上的智能。我们这里称之为“递归智能”。所有的人类文化活动，基本上可以说是递归智能在二阶规则层面上通过对规则进行不断修改和拓展所取得的成果。
图8：Bertall《奥林比亚》
Karikatur zu Olympia von Edouard Manet，Wiki Commons
三、递归智能
在《语言官能：是什么，谁拥有之，以及怎样进化的？》一文中[1]，郝瑟、乔姆斯基和芬奇强调语言官能（the faculty of language）的核心（“狭义语言技能”，FLN）是在于人类独有的递归智能*，并认为递归应该不是“语言适应”，不是因前语言或者亚语言活动进化得来，而很可能来自语言之外的物种进化史上其他的活动机制。为了响应并试图解答郝瑟假设，同时也为了解释为什么火唯有人才能掌握，《火：工具与心灵》一文提出火之使用蕴含着一个递归函数[2]。而火的使用要求人在掌握火的过程中逐渐发展出递归智能，使人与动物开始分离。动物不具有递归智能，无法掌握火。另一方面，人类对火的掌握，也为掌握语言埋下了伏笔。
总之，火的掌握，让人类逐渐进入了二阶规则世界，而它也是相对独立于一阶物质规则的心灵世界。在这里，我们基于对二阶规则的阐述来进一步说明火的递归函数和它与心理表征之间的关系。同时我们也有必要澄清一个疑点：正如不少人认为的，递归有可能是整个宇宙的工作原则**。这意味着动物行为包括蜂筑蜂巢、白蚁建白蚁“城市”等都应该体现着递归原理。于是，在何种意义上火的使用代表着人类所特有的递归智能？
*作者注
*他们并没有明确使用“递归智能”这个术语，而只是用“递归”（recursion）这个概念来表达智能的含义。严格说来，这是一个不必要的失误。因为动物行为甚至包括自然界所有的产物，都可能是递归或者递归运算的结果。如果递归是宇宙的基本机制，那么宇宙本质上就是一台计算器。这个观点看起来极端，但其内在合理性是难以挑战和驳斥的。
**即所谓“宇宙是台计算机”命题。然而彭罗斯认为，尽管递归是宇宙中无处不在的现象，但终究有一些东西不是由递归得来的。为了证明后者，彭罗斯先后写了“皇帝的新心”和“心灵的影子”两本鸿篇巨制。递归在本体论上的地位，还有待继续讨论。
为了避免混淆，我们根据前面所说的二阶概念来区分三个层次上的递归：第一层递归或者一阶递归，是物质载体的递归运算，包括动物和人的脑神经回路或者机器的神经网络，它们的运算活动表征着某种自然或者人工的递归函数，它们只执行可能的递归运算，但并不懂或者理解递归；二阶递归是这里所强调的“递归智能”，是人类在日常生活中，通过各种逻辑推理和规则运用所体现出来的对递归的直觉（intuition）和隐性理解（implicit understanding）；而更高一级的递归智能是当代计算机编程所体现出来的人类对递归原理的显明理解（explicit understanding），即从数学上能写出递归函数，说明递归原理。
基于这个区分，我们说即使递归是世界运行的基本机制，递归运算本身并不代表递归智能。递归智能不仅仅指行为本身能体现递归原理，而更是指人能制定和完善各种行为和推理规则去有效地寻求问题的解决。也就是说，递归智能主要表现在人类的二阶游戏规则：这些规则与脑神经回路不同，它们总是包含着二阶心理表征，属于“二阶规则”，从而构成对一阶表征的表征（广义的“表征”包括对表征图式的干涉和修改）。然而，递归智能并不要求能写出规则背后的递归函数。能写出和说明递归原理是更高一级、高度自觉的智能。毕竟，人类也只是近几十年在哥德尔、图灵、丘奇等的努力下，才算懂得了递归原理。
总之，身体或物理递归是一阶递归，递归智能是二阶递归，包含心理对物理表征的表征，而明确从数学上表征递归函数、说明递归原理是三阶智能现象。当然，这只是标签，本身不说明任何实质性的理论问题。但这个界定已足以说明，即使整个宇宙系统都可能是递归运算，只有人才称得上真正“懂得”递归，即能自觉地运用二阶符号规则和心理表征图式*，去做事实、反事实推理并主动寻求问题的解决。尽管动物可以靠自然选择的“编程设计”或者模仿等手段来执行自然形成的递归算法，但只有人才具有包含二阶心理表征的递归智能。总之作为智能，递归智能是二阶的。这也足以说明为什么一方面机器是递归机器，却不具有人所独有的“递归智能”。由于目前的图灵机器只能执行编程所预先设定的一系列递归运算，而本身并不理解编程语言，不懂自己所执行的规则和问题解决，因此现有人工智能技术所体现的递归运算只能算是一阶递归。它们在智能概念上与动物本能属于同一层级。
*作者注
如珀尔的因果图式（见Pearl, J. & Mackenzie, D., The Book of Why. New York: Basic Books, 2018）。
- holger lippmann -
四、有关递归的直觉
不少学者之所以相信递归是宇宙运行的基本机制，与复杂性概念有关。为了认识递归，我们可以先来检查人类对于复杂性的直觉。而这种直觉可以从以下几个方面来表述：复杂系统应该来自简单系统，而不是相反。也就是说，简单系统先于复杂系统存在。这是其一。其二，复杂系统应该是由简单系统的叠加、耦合等机制建构而成。简单系统的组合能产生复杂系统。其三，一般说来，只要系统本身有秩序和规律，或者“可计算”*，原则上我们可以一步一步通过从简单到复杂的更替和迭代来实现建构复杂系统所需要的复杂性。
*作者注
因篇幅关系，我们这里不讨论计算复杂性问题。至于什么是“可计算”，这里不做进一步说明。
同样的道理也表现在问题解决上。在日常生活中，问题解决常常遵循由易入难的法则。我们把难的、复杂的问题化解成相对容易、简单的问题，然后再继续分解成更容易更简单的问题，以至于问题解决所需要的简单度，比如连机器都可以操作的程度。这种“千里之行始于足下”，“一生二，二生三，三生万物”的原则尽管在严格意义上还不构成递归，但其基本精神却可以说与递归密切相关。简单说来，递归也是从简单到复杂的逐步构建，其过程包含某种基本机制在不同条件参数下的重复运用。
回到复杂性概念。在自然界系统中，系统复杂性很少能超越生命体的复杂性。而生命系统的复杂性从何而来？难道生命是由原子递归构成的？薛定谔曾就个体生命机制提出这样的疑问：从生命遗传的角度看，实现生命规律的原子数极其微小。个体生命从单个细胞发育成长过来，生命源于单个细胞（受精卵）的不断分裂。而这一过程仅仅由小小的细胞核中所包含的内容控制。在薛定谔看来，细胞核是如此之小，小到连一般“简单”物理规律所要求的大量原子堆积都满足不了，而生命规律却又是如此之复杂[3]！在这个时候，如果他是一般人，薛定谔也许会认为自己找到了上帝存在的证明，因为现有的物理模式无法说明生命现象。然而他没有那样做。相反，他提出这样的假设，即染色体内部应该包含某种可以绕开物理热运动规律的生命密码。个体生命规律只有以密码形式储存在细胞核内部，这样才能摆脱大量原子堆积的规律性前提（因为密码的储存和解读不需要热消耗）。薛定谔的假设激发并引导了Watson和Crick去揭示DNA的双螺旋结构。在薛定谔看来，既然原子不能够实现生命规律，那么生命规律很有可能来自染色体内部的某种编码。然后DNA结构真的被发现了。
- Augusto Zambonato -
原子概率规律解释不了生命规律，而薛定谔之所以没有放弃，其根本原因还是因为他实质上相信递归所代表的基本原理：即复杂来自简单，而不是来自更复杂，比如上帝。当物理模式无法确立能解释生命规律的基本原则，薛定谔提出了“生命密码”的假设。然而在另一方面，薛定谔也犯了个关键性的错误。这个“错误”由Sydney Brenner指出。根据Brenner的说法，当薛定谔说染色体内部包含着遗传编码的时候，他认为编码不仅仅包含一个对编码的描述（the description of the description or code），而且包含执行为编码所确定的任务的工具（the means of executing the code）[4-5]。也就是说，薛定谔似乎还没有真正理解到所谓“描述的描述”、“表征的表征”在递归过程中所起的作用和意义。为构建生命系统，遗传密码不需要包含执行任务的物质性工具。实际情形如Brenner所指出的，所谓“描述的描述”就足够满足生命复制所需要的条件之一，而不需要再在物质层面上附加物质性的复制机制。
Brenner所说的生命复制情形和图灵机情形类似。图灵机的工作原理，也不需要包含执行程序所需要的物理工具，而只需对图灵机如何运行进行进一步描述即可。由于图灵机本身是一种“描述”，给图灵机编程于是可以被理解成是Brenner所说的“描述的描述”。一般说来，生命科学家们通常把自我复制本身也做层级区分，有复杂的自我复制，也有简单无聊的自我复制，后者如龙卷风的自我复制、漩涡的自我复制等。复杂复制的关键在于复制过程中存在某种主动的复制器（所谓“冯·诺依曼阈值”）。蜡烛的火焰可以像生命体一样不断地从外部吸收能量来复制自身，但是它不是生命，因为其复制是被动的，不是由某种内部的复制器所启动。相反，复杂复制必须事先对复制进行“编程”，根据该程序执行复制，也就是说复制过程在某种意义上是被监督、被控制的。
与递归相关的另外一个复杂性概念涉及无限和有限的区分。严格说来，有限—无限的区分更涉及递归智能，而与执行递归的物质过程只有间接的关联。这是因为物质世界总是有限的，而无限只是一个理论问题。有限—无限之所以对递归如此重要，是因为人类的递归智能总包含有实质性的无限，即在有限的物质条件下，能产生无限二阶表征的能力。
譬如一个困扰哲学家、语言学家、动物行为学家和人工智能学者多年的问题，就是如何说清人的理解力与机器、动物理解力之间的差别。这包括对塞尔中文屋无休止的争论，即中文屋里面的主体是否真的理解中文？实际上，我们可以从有限—无限的角度来看待这个问题。根据郝瑟的说法，“任何一个语言使用者都在直觉上熟悉什么叫离散无限（discrete infinity）”。乔姆斯基也强调，人的语言能力包含着无限性。人能运用简单短语结构的不断组合（称之为compositionality或者merger，见下文），来实现从有限物理世界到无限心灵世界的跨越。比如狗或者鹦鹉也许可以学会并理解一个句子，“张三喜欢李四”，但这个理解并不包括对“王五喜欢张三”的理解，也不包括对“李四喜欢张三喜欢王五”“张三喜欢李四喜欢张三喜欢王五”等的理解。人的理解力含有举一反三、在不同语境下重复运用某种基本语言短语或者其他函数的能力。
- Ash Thorp -
同样的道理，机器学习往往需要海量数据，而人的学习却可以依赖对个例（single sampling）或者少量数据进行抽象概括，得出一般性规则。这些现象也蕴含着有限和无限之间的区分。人的理解力之所以是无限的，它和个例学习是基于同一个道理：人的理解力包含着举一反三式的递归智能。
David Ager曾这样来解释动物与人的差别：
猿、黑猩猩和倭黑猩猩都非常聪明，它们是非凡的造物。但倭黑猩猩不懂句法，如果你仔细观察我们试图教它们语言时，它们是如何反应的，就会发现，它们在运用一般智力来理解它们认为我们可能想要的东西、想说的话。人类的语言通过将事物相组合的方式来赋予其意义，我们没法让动物做到这一点……遣词造句是一项奇迹，这是我们人类宇宙中了不起的地方，它赋予我们有限的生命以几近无限的能力去创造想象的新世界。
人类语言的真正核心就在于创造了层级分明的句式结构，称作“合并”（Merge）……有某种潜在的深层结构隐含在人类语言组织句子的方式里[6]。
Ager所说的深层结构实际上就是“组合”或者递归。它是超越有限物理世界、抵达无限心灵世界的阶梯。这种超越不仅仅局限于语言，而是人类心智的根本特征。人类心智靠一种物理世界中普遍存在的从简单到复杂的建构机制，加上对物理关系进行心理表征，从而构建出人类所特有的递归智能。尽管物理世界的递归，原则上也具有无限性，然而由于物理系统总是包含某种“终止条件”，如编程中的“base case”、基因组中的调控“终止”基因等，物理世界在事实上总是有限的。物理递归的有限性来自热消耗的有限性。相反，人类心灵靠“表征的表征”，靠“描述的描述”，能规避热消耗，从而实现自然界中本来不存在的实质无限性。在这个意义上，人类理解力不同于机器、动物的理解力，因为人类理解力包含着二阶的递归智能。这就是理解的无限。相反，目前即使是最聪明的机器，其理解力也是有限的。它固然可以无限地运算下去，但这只代表时间本身的无限性，如果时间是有限的，机器运算也随之变得有限。人心灵的无限性并不受时间限制。
总之，为了认识递归，我们需要把它同复杂性问题联系起来。复杂系统来自简单系统的组合建构，而不是来自更复杂的东西，这是递归背后的第一原则。另外，二阶表征的递归和演绎，通过对热消耗的规避，能实现理解的无限。这可以说是递归智能背后的基本原则。
- Ash Thorp -
五、递归的数学描述
递归是计算机科学的核心概念。图灵-丘奇（the Turing-Church Thesis）命题证明所有可计算（可机器计算）的问题都可以用图灵机来进行递归计算。目前这种对计算的理解——所有计算本质上都是递归计算——奠定了递归在数学和计算机科学中的核心地位*。
用递归函数来编程，其特点是被定义的函数在定义中包括自身，必须具备“终止条件”/“递归基”（base case）和“递归规则”（recursive rule）两个要素。递归函数根据它的递归规则一次次调用自身，最终所有情况都能被归结到它的递归基**。在实际语境中，人们对递归的理解常常具有一定的模糊性，可能会把它同迭代（iteration）、嵌套等同或者过度区分***。根据前面的讨论，我们可以说，一个作为递归的函数必须满足两个条件：一方面它必须包含从简单到复杂的逐步演绎和建构，另一方面必须包含从有限到无限的飞越****。简单的重复不是递归，因为它不具有真正的复杂性，不符合前面提到的冯·诺依曼阈值。同样的道理，简单的重复即使在时间上可能是无限的，但并没有真正实现内在的无限性。
*作者注
*然而，这并不等于说，所有的编程都是靠递归函数来实现的。递归函数在技术应用中并不特别经济有效，因此直接用递归函数来编程，实际上并不多见。
**感谢周陈瑜同学为这一节和下一节的写作所做的贡献。
***参见关于语言递归的讨论，其中尾递归（tail recursion）概念（相对于内递归，nested recursion）似乎过于宽泛。参见:Chomsky Noam“, Some simple evo devo theses: How true might they be for language?”in Larson R. K.,Viviane D., Hiroko Y.,The Evolution of Human Language, New York: Cambridge University Press, 2010, pp.45-62. Corballis Michael C,“Recursivecognition as a prelude to language”, in Francis Lowenthal and Laurent Lefebvre eds., Language and Recursion, Berlin:Springer, 2014, pp.27-38. Martins, Maurício Dias and William Tecumseh Fitch,“Investigating recursion within a domain-specific framework”, in Francis Lowenthal and Laurent Lefebvre, eds., Language and Recursion. Berlin: Springer,
2014,pp.15-26.
****克服物理有限性，实现思维的无限性飞越——这是递归智能的本质特征。由于篇幅关系，这里不能详细论述该命题。前文提到物理计算和机器计算都必须包含终止条件，这是因为无论物理递归或者机器递归都是有限的，不可无穷尽进行下去。而人类思维的递归，尽管在个体和具体操作层次上也是有限的，但在群体和操作能力方面本质上却是无限的。感谢本刊编辑对该问题的评注。
一元递归函数的严格定义如下：
H(0)=C;
H(n+1)=G(n, H(n)), n>0.
其中，C是一个常数，G是一个二元函数，H是被定义的一元递归函数。H和G至少形式上是不一样的，因为它们的元数不同。
上述定义的含义是：对于一个递归函数H，H(n+1)的计算被归结为H(n)的计算（假设计算结果为m）和G(n, m)的计算（假设G(n, m)是可计算的）；也就是说，变元x取值n+1时H(x)的计算，被归结为变元x取值n时H(x)的计算（以及另一个函数H的计算）。
不过，递归函数H(x)一旦定义出来之后，可以和自己进行“复合”，生成一个新的函数H(H(x))，这个新函数还是递归函数。H(H(n))计算方法是：先用H的定义计算出H(n)=m，再用H的定义计算出H(m)的结果，这个结果就是H(H(n))的结果*。
*作者注
感谢陈小平教授在表述上的指导和帮助。
在上面的表述中，“H(0)=C(常量)”，严格说来并不属于递归的一部分，因为它只是“base case”，是机器运算所必需的终止条件。否则机器会无限运算下去，得不出我们所需要的结果。而狭义的递归运算规则在第二项“H(n+1)=G(n, H(n)), n>0”，其基本涵义可以简单地表达为：用上一步的计算结果来计算该步骤的计算结果。
阶乘函数（the factorial function），一般表达为n!，是用来解释递归的范例。一个自然数的阶乘是自身和所有小于自身的自然数的乘积。
阶乘的一个特点是，5!可以被表达为5!=5×4!
而4的阶乘又可以表达为4!= 4×3!
可以看出阶乘实际上可以用一个自己定义自己的递归函数来表达。于是n的阶乘可以靠上一步的阶乘，即n-1的阶乘来定义：n!=n × (n-1)!，其中n>0。当然这会导致0的阶乘是多少的问题，因为1的阶乘是1 × 0!。在数学上，0的阶乘是一个常数，等于1。它构成自然数阶乘的终止条件，即所谓的“base case”。相反，如果0阶乘没有被定义为常数1，原则上0!=0 ×1!。这样一来，阶乘的递归运算就应该继续，甚至永无终止*。
*作者注
这里的图式及例子的使用主要来自于
https://www.sparknotes.com/cs/recursion/whatisrecursion。
如前所述，递归的奥秘是在于它能把复杂的问题化解成简单、甚至机器都可以执行的算法（algorithm），也称有效程序（effective procedure）。当机器都可以执行该程序，运算就可以自动化。这构成递归和人工智能在概念上的联系。
实际上，数学上的递归运算古代就有，并不是现代人的发明。比如欧几里得的最大公约数算法就运用了递归。但只有现代人才真正从数学上对递归做了一般性定义，并用递归来规定和描述算法。哥德尔等人，把最简单的递归给出明确定义，称之为“原始递归”。我们前面所说的一元递归函数h，实际上是原始递归的特例，把它一般化，我们就可以得到哥德尔式的原始递归函数定义：
假定两个函数，f(x1, x 2, …, xn) 和g（x, y, z），可以用它们来定义原始递归函数h：
(1) h(x1, x 2, …, xn, 0) =f(x1, x 2, …, xn);
(2) h((x1, x 2, …, xn), y+1) = g (x1, x 2, …, xn, y, h (x1, x 2, …, xn, y)).[7]
在《火：工具与心灵》一文中，我们强调火的使用“规则”实际上隐含着一个递归函数：任何动物不能直接用火，这包括人；火不是棍子或者石头，可以直接拿来使用；你必须用别的工具来使用火；火作为工具的一个本质特征就是它要求你从概念上理解工具的递归，即用工具来使用工具。
我们这里可以设定一个一般性的一元工具函数，T（代表“用工具，tooling”）。工具x的使用，表达为T（x）。x是石头、棍子等。当“x =火”的时候，“T（x）”无定义。也就是说，火不属于一元函数T的定义域，不能被直接使用。为了能用火，我们需要一个二元函数，F（代表“用火，firing”），而F由函数G，G（x, y, n, F（x, n））来定义：
(1) F(x, 0)=C;
(2) F(x, n+1) = G(x, y, n, F(x, n)).
(1)和(2)的组合构成火的使用规则；这里，C是常量值，也是递归的终止条件。而G函数为四元函数，（x, y, n, f），其中x=火，y=棍子之类的用火工具，且y≠x, n 为自然数，且n>0，f 取值F。
总之，(1)与(2)的组合，构成用火的规则表征。我们设定G函数是可计算的，否则递归不成立。总之，如果上文的假设成立，火的使用函数蕴含着递归。火的使用要求人或者动物必须事先对这个递归规则有某种隐性的理解和表征，否则火是无法使用的。而正是这种特殊的用火规则所要求的智能和理解力，是动物大脑无法达到的递归智能。
- Juliette Oberndorfer -
递归与规则
如前所述，递归本身不代表有递归智能，后者是人类在各种游戏规则的使用中所表现出来的对递归的理解，这种理解基本上都是隐性和直觉的。也就是说，当人们在运用递归程序来解决问题的时候，一方面他们可以像动物和机器一样不理解自己为什么这样做，但另一方面，他们又是在积极地使用二阶表征，在自觉地运用“组合”“化繁为简”等递归原则来实现对复杂问题的解决。这就好比欧几里得用递归来寻找最大公约数，尽管他没有从数学上说明什么是递归，以及原始递归函数是什么。
人之所以能从递归的运用中获得递归智能，而动物和机器却不能，是因为在人类学的意义上，火的掌握使得人的理解力能够从一阶的物质表征层次上升到二阶的心灵表征层次。火的操作在一般情形下都蕴含着心对火的积极表征。我们总是会带着对火的某种理解，拥有着对火“下一步行为”的某种远见，去使用火。
首先火作为工具，之所以与其他工具不同，是因为它不能被随便用。正如Johan Goudsblom在《火与文明》一书中强调的，用火“需要远见和细心”，“控制火是人类共有且特有的一种能力”[8]。而且，相比起使用语言和工具，用火更是为人类所独有。这种细心，严格说来并不是简单地关注。一个狒狒在用棍子猎食蚂蚁时，它可以很关注，但它所关注的往往不是棍子本身，而是蚂蚁或者蚂蚁是否能上棍子。棍子的工具性在使用过程中是或者至少应该是自我隐藏的，因此才有所谓忘筌、忘言之说。而火则不同。一般说来，任何人在使用火的时候都需要时刻关注火本身，并遵循心灵对火的表征去使用火。用火需要细心，需要对火有理解和远见。这是火本身的特性所造成的。
Goudsblom把这种特性称作“破坏性，不可逆转性，无目的性，自生性”[8]。正由于这些性质，对于任何动物而言，如果不小心，玩火就等于自焚。于是火与心的必然联系也正表现在这种“细心”和“小心”上面。你可以无心地捡起一块石头，然后利用它达到你的目的，然而不要无心地去用火来做任何事情。
因此，使用火不仅仅是一种外在行为，而且包含内在的对火和使用火的表征。在描述用火行为的时候，单是外在的行为描述是不完整的，而必须包括对内在心理状态的描述。这种内在心理状态可以是复杂也可以是简单，但不能没有对当下行为的理解和关注。
- Fran Labuschagne -
总之，用火行为，实际表达的是一个二阶规则，它包含对一元T函数的递归，这个规则是每个用火者必须在直觉上先理解了以后才能使用火。这种二阶规则理解实质上代表着人所特有的新的心智能力，他能够按规则的表征办事，而不是简单地按规则办事。动物在看见火的时候，自然法则告诉它：“见到火，跑开”。这是一阶物理规则，由动物的大脑神经元来实现和执行。在这个意义上，动物的避火行为是简单地按规则办事，它不包含对规则的二阶表征。
然而当人在看见火的时候，也许由于他已经通过对火的逐步观察和掌握，同时在漫长演化过程中靠火与人类心灵的相互构建和“同步进化”[9]，已经获得了能对一阶规则做心灵表征的能力，他通过对火规则的表征掌握了火，于是他可能不再跑，而是靠近、最终收集火种。人类这种自觉地按规则的表征来办事的能力，应该来自对火的使用和掌握。
在不同但又密切相关的语境中，珀尔也强调这种二阶表征能力的认知意义，他形象地称之为“画图”（draw diagrams）。尽管珀尔的问题是因果推理，但因果推理也是递归智能的一部分，而且是关键部分。在他看来，是二阶表征赋予了人所特有的因果推理能力。
尽管二阶表征或者规则图式，乍看起来和规则本身没有太大差别，但前者给了人按规则表征、而不是简单地按规则办事的能力。一旦具备了按规则表征办事的能力，人实际上也就具备了违背和改造这个规则的能力。这在珀尔看来，是人之所以能登上比机器之规则遵循，或者所谓“连接（association）智能”更高的因果智能的关键。珀尔把这种规则的违背和修改叫作“干涉”。假如现有的有向无环图显示，“没有上司命令，士兵A和B都不能开枪”：
在攀登因果阶梯的时候，我们可以问有关干涉（intervention）性的问题。如果士兵A没有等待上司的命令而主动开枪，囚犯会死还是活？这问题实际上已经具有矛盾的味道。我刚刚跟你说过只在命令下才开枪，但现在我们要问的是，如果他在没有得到命令时开枪，那会发生什么？如果你只是像典型的计算机一样运用逻辑规则，这问题是没有意义的。如果我们想让计算机理解因果关系，就必须教它如何违反规则……[10]47-48
也就是说，按规则表征办事，赋予了人违背规则的能力。而这种违背和偏离，是文化活动的本质，也是前面所说的二阶规则演绎的本质特征。远古时代，当人们在看见火的时候，我们今天也可以设想在某个阶段人们开始对着自己所理解的火规则问，如果我不跑，而用棍子去控制它，这会发生什么？他之所以能这样问，是因为火的掌握、以及火与心灵之间的不断反馈使得人逐渐获得了形成二阶规则（画规则图式）的能力。而用二阶规则来干涉行为和一阶规则，一方面减少了直接一阶规则修改的成本，另一方面也是人类逐渐形成用二阶规则的递归来寻找最佳问题解决的前提和基础。
- Sara Wong -
七、特例：法也是二阶规则
二阶规则也是法学家哈特的核心概念。他用“二阶规则”（secondary rules）来理解法的独立性。在他看来，一阶规则（primary rules）是行为规则*。行为规则不代表法。行为规定各种法定义务和违背所带来的行为后果[11]93。而法律之为法律，其关键是二阶规则。因为法律条文即一阶规则不可避免地会带有各种解释及有效期等不确定性，在这个时候，如果没有内在的二阶规则来解决这种不确定性，一阶规则就不是法律，而可能只是行政命令或者其他形式的行为规则。
*作者注
这里的一阶和二阶的规则区分是相对的。如果把一阶规则看成是二阶的，那么原来的“二阶”规则就变成三阶的。以此类推。
哈特对法律规则的诠释，实际上体现了法“智慧”的核心也是在二阶的规则递归。在二阶规则中，最有名的应该是他所谓的“确认规则”（rules of recognition）[11]94。它包含一系列一阶规则必须满足的标准和条件，只有当一个一阶规则通过了某个相关的“确认规则”，它才能算是法律。
二阶规则还表现在人与动物在模仿行为的区分上。人的模仿和动物模仿有质的区别。David Premack 曾区分两种意义上的模仿[12]：一种是对象模仿（A拿棍子，B也拿棍子——B模仿A的对象选择），很多动物都会对象模仿；还有一种模仿只有人会，是过程模仿，B模仿的不是A拿棍子，而是A拿棍子的方式。在Premack看来，后面这种模仿要求模仿者对所观察的过程形成心灵表征，并按照表征内容实现该动作。这实际上就包括一个表征的递归过程。任何模仿都是表征，但只有过程模仿才包含表征的表征。在过程模仿形式下，人不直接模仿别人的行为，而模仿自己对别人行为的表征。Michael Tomasello对动物学习极其重要的研究充分显示这两种模仿形式的差别[13]。只有人的模仿才包含对所观察到行为的积极表征并予以复制。这在Tomasello 看来，实际上是人类文化活动的本质，也说明为什么一个新技术的发现能被继承和传播，导致技术的不断积累和进步。而动物尽管也能学新技术，但由于缺少递归式的心灵表征，技术的传播和积累在动物界是不可能的。
因此递归智能不仅仅是递归，而是靠二阶心灵表征去递归。这才是人类心智的关键。一旦理解了这一点，我们也许就可以在一种相当基本的意义上去理解包括画图、表演等各种二阶艺术表征的意义。甚至火神庙本身的建筑也可以被看成是一种“二阶图式”。
- Juan Caicedo -
八、时间与苦闷
尼采曾这样来描述动物与人的差别：
看看牛群，它们吃草时从你身边走过：它们不知道昨天或今天是什么，他们跳跃，吃，休息，消化，再跳跃，从早到晚日复一日都被锁在当下以及当下的快乐或不悦，因此既不忧郁也不厌倦。这是人们难以想象的情境；虽然他自认为比动物高级，因为他是人类，但很难不羡慕它们的幸福[14]。
尼采的意思是动物活在当下，所以他们没有人的时间概念，也没有人所独有的忧郁和厌倦。这里的“当下”，实际上只是指对象意识。动物只活在纯粹的对象意识之中（包括对自己身体的意识）。当然这只是一个假设，如果动物有人一样的意识的意识，那就没有理由认为动物没有时间图像，因为时间也是递归，和自然数序列类似。
动物对世界的表征只存在于一阶的对象表征，即神经系统的表征。动物的尼采式快乐也是一阶对象意识的结果。当人征服了火，他获得了自由，也由此进入了二阶的文化世界。他开始靠文化叙事、艺术图式和各种二阶的游戏规则来规定自己的行为。这种能力或者官能，我们这里称之为递归智能。
认知语言学早就发现人类文明有两种并列的时间表征规则或者图式。一种假设我在动而世界是静止的（移动观察者模型，the moving observer model），按照这个模型，未来在前面（“前途”），过去在后面（“往事不堪回首”）。第二种图式假设世界在动而我静止（移动对象模型，the moving object model），于是星期一在星期二之前（星期一先朝我们走来），过去是“之前”，未来是“以后”。中国文化还采用“自由落体模型”（the falling object model），在地球上由于自由物体都自上而下而非自下而上地运动，因此时间的先后可以用上下来表示，于是我们有“上个月”和“下个月”的分别。
按照尼采的说法，当人有了时间，人就开始不快乐。而时间概念，不也是火和语言所开发的递归智能造就的意识图式吗？火作为技术的原型，它的征服给人带来了人所独有的智能，也带来了时间、苦闷和文化之中无处不在的规则游戏。这意味着什么？规则、技术和人类心灵的演绎，是一个无所不包、但常常看不见的“理性空间”。规则和文明无时不刻在构建人的心灵。当韩非子说，“故舆人成舆，则欲人之富贵；匠人成棺，则欲人之夭死也。非舆人仁而匠人贼也，人不贵，则舆不售；人不死，则棺不买；情非憎人也，利在人之死也”，他实际就是在讨论二阶规则和一阶规则的差别。一阶行为的善与恶可能不一样，但在二阶规则的层面上，善恶所分别表达的心智却也许是一样的。于是，我们可以引用维特根斯坦的话来做结语：
让我们想一下都在哪些情况下我们会说一个游戏是根据一个特定的规则进行的！[15]
参考文献
[1] Hauser, M.D.，Chomsky, N.，Fitch, W.T.，“The Faculty of Language: What Is It, Who Has It, and How
Did It Evolve”, Science, 2002, Vol.298, No.5598, pp.1569-1579.
[2] 朱锐：《火：工具与心灵》，《科学·经济·社会》2021 年第1 期。
[3] Schrödinger, E.，What Is Life？Cambridge: Cambridge University Press, 2012.
[4] Brenner, S.，“Life’s Code Script”, Nature, 2012, Vol.482, p.461.
[5] Brenner, S.，“Interview: John von Neumann and the History of DNA and Self-replication”,Web of Stories,
https://www.youtube.com/watch?v=Zf13v0OEdt8&list=PLVV0r6CmEsFyxf1sRqxZgh-06WFw4zg
Pj&t=0s.
[6] Berger, K.，“Talking Is Throwing Fictional Worlds at One Another”, Nautilus, 2019-09-19, http://nautil.
us/issue/76/language/-talking-is-throwing-fictional-worlds-at-one-another.
[7] Cutland, N.，Computability: An Introduction to Recursive Function Theory, Cambridge: Cambridge University
Press, 1980, pp.32-39.
[8] 约翰·古德斯布洛姆：《火与文明》，乔修峰译，广州：花城出版社，2006 年。
[9] Gourhan, L.，Gesture and Speech, Cambridge, Massachusetts & London: MIT Press,1993.
[10] Pearl, J.，Mackenzie, D.，The Book of Why, New York: Basic Books, 2018.
[11] Hart, H. L .A.，The Concept of Law, Oxford: Oxford University Press,1961.
[12] Premack, D，“Is Language the Key to Human Intelligence?”, Science, 2004, Vol.303, No.5656, pp.318-
320.
[13] Tomasello, M.，“The Human Adaptation for Culture”, Annu. Rev. Anthropol, 1999, Vol.28, pp.509-529.
[14] 转引自Hoerl C.，“On being stuck in time. Phenomenology and the Cognitive”, Sciences, 2008, No.4,
pp.485-500.
[15] Wittgenstein, L.，Philosophical Investigations, Oxford: Basil Blackwell, 1958.
作者：朱锐 | 封面：Max Liu | 排版：光影
原文刊于《科学·经济·社会》2021年第3期 第41卷 第164期