我第一次接触混沌理论是通过《侏罗纪公园》中的马尔科姆教授这个角色。作者将混沌理论描述为一种潜在的数学结构。
混沌理论是 "蝴蝶效应 "的原因。一只蝴蝶在中国拍打翅膀，而纽约市却因此下雨了，因为扇动翅膀会引起能量由小到大的级联。不过，你不需要在中国观察蝴蝶，并将其与纽约的天气统计联系起来，就能理解混沌。只需要一个钟摆。
混沌系统有一种叫做 "对初始条件的敏感依赖"的东西。这意味着，不仅中国的一只蝴蝶可能导致纽约下雨，而且如果你重复这个实验，永远不会得到相同的结果。对于科学家来说，这是一个能够精确预测未来的理论障碍，即使没有量子力学的测不准原理。
让我们看一个例子。以一个钟摆为例，用两个量来描述它在任何时候的状态：位置（由其沿摆动方向的位置给出）和动量（其质量和速度的乘积）。如果把这两个值画在一个网格上，位置在横轴上，动量在纵轴上，在一系列的时间里，你会看到钟摆描出一条线。这个网格被称为钟摆的相空间。这条线是它的相空间轨迹。
假设钟摆的开始位置和动量为（x，p），在网格上记录了它的运动轨迹。现在，从一个不同的位置开始（x+δ，p+ε）。新的轨迹将与旧的轨迹发生偏离。然而，对于一个非混沌摆来说，它要么收敛，要么保持非常接近。这就是对初始条件的敏感依赖性。
然而，这种差异在许多情况下并不是指数级的，因为混沌系统有所谓的奇异吸引子，也就是一组初始条件，称为吸引力盆地（a basin of attraction），被吸引到相空间的一个特定区域。这意味着，一个混沌摆动，当在一个吸引盆地中开始时，将趋向于一个类似于从盆地中其他点的轨迹，但永远不会是相同的轨迹。
Mixmaster宇宙（MM宇宙）
Mixmaster宇宙是查尔斯-米斯纳（Charles Misner）在20世纪60年代提出的早期宇宙模型。Mixmaster宇宙是同质的，这意味着，像大多数宇宙学模型一样，它假定整个宇宙的物质密度是相同的。然而，它不是一个各向同性的宇宙，而是各向异性的，意味着宇宙在不同的方向上可能表现得不同。你可以把球体看作是一个各向同性的固体，而椭圆体或扁球形是各向异性的。
Mixmaster宇宙以Sunbeam Mixmaster命名，Sunbeam是Sunbeam Products的一个品牌，电动厨房搅拌机
根据我们的观察，我们的宇宙是同质的并且是各向异性的。因此，Mixmaster宇宙（如果存在），必须是非常早期的宇宙。宇宙开始时应该是各向异性的，并迅速收敛到各向同性的形式。
Mixmaster宇宙是一个混沌的宇宙。它在一个方向上反复膨胀和收缩，同时在另一个方向上膨胀，然后这些方向互换位置。因此，它的行为就像一个三维混合器，反复而随机地挤压和膨胀。
米斯纳认为Mixmaster宇宙可以解释为什么宇宙微波背景(CMB)混合得如此之好。这不可能是普通的电磁力或其他力导致的。天体物理学家现在认为，是膨胀造成了混沌。 mixmaster宇宙是爱因斯坦方程的唯一解，已被证明是混沌的。
虽然混沌是一个很容易理解的概念，但它是出了名的难以证明。我们所知的大多数混沌系统都是一维或二维的，证明多维系统混沌的标准方法实际上是将其简化为一维问题。因此，证明一个四维宇宙学是混沌的是一个艰巨的任务。
但首先，混沌（ chaos）与混合有（mixing）什么关系？
在19世纪，科学家们试图了解物质如何混合的数学原理，在什么条件下可以认为是混合，以及什么过程导致混合。他们发现了四个层次的混合：遍历混合（ergodic）、弱混合（weakly mixed）、强混合（strongly mixed）和伯努利移位（Bernoulli shifted）。
假设你正在制作鸡尾酒，有10%的朗姆酒和90%的可乐。你可以制作一种混合方式的鸡尾酒。
- 遍历混合的鸡尾酒是混合得最不均匀的，如果你取任意体积的朗姆酒和可乐，随着时间的推移，朗姆酒的平均含量是10%。这意味着在任何特定时间朗姆酒的比例可能是任何值。
- 对于混合程度较弱的鸡尾酒来说，除了偶尔有一次，体积中有10%的朗姆酒。
- 对于烈混合的鸡尾酒，朗姆酒的比例始终是10%。
- 伯努利移位的鸡尾酒不仅总是10%的朗姆酒，而且鸡尾酒的“结构”在每一时刻都是完全随机的，你可以把它看作是一种不仅混合良好，而且处于不断搅拌状态的鸡尾酒。
伯努利移位混合也被称为phi-混合，是一种特殊的混合，因为它是伪随机的。它可以用于伪随机数生成器，并可能是布朗运动的原因。许多混沌系统表现出这种混合，包括Mixmaster宇宙。
让我们看一些混沌系统的例子。
理解混沌系统的最简单方法是使用所谓的映射，这只是系统状态x在时间n和时间n+1之间的关系。如果它是一个一维系统，那么x只是一个数字。
逻辑斯谛映射（The logistic map）是最古老的混沌映射之一，模拟人口的增长和崩溃。逻辑斯谛映射并不总是混沌的。相反，它可能是也可能不是，取决于一个可控参数的大小。
这里的可控参数是r，唯一能控制的是它的起始位置。如果让这个映射运行一段时间（用一点Python代码就可以轻松搞定），它将趋向于收敛到一个或两个或更多的点，或者完全随机。你可以把所有这些收敛点收集到一个叫做分叉图的图中。我通过对10000个r值的地图进行1000次迭代，并对每个r值的最后100次迭代进行绘制，创建了一个分叉图。
你可以通过看图知道它在哪里变得混沌。这100个值在图上到处都是。但用数学的方法来看，就是计算李亚普诺夫指数，这是衡量其相空间中两个相邻轨迹发散的速度。如果这个指数是负的或者是零，这意味着系统收敛到一个特定的状态叫做不动点或者变成周期性的，那它就不是混沌的。如果它是正的，它就是混沌的。
这里的一个有趣的特点是，你可以看到在走向混沌的过程中，状态会经历一个叫做 "周期加倍 "的东西。一开始是小的r，小于3，收敛到一个单一的固定点。在那之后，它在两个状态之间徘徊。然后它再次翻倍到4。每次翻倍，李亚普诺夫指数都达到零，与混沌接近，然后在上升之前再次下降。你看不出来，但周期继续翻倍2、4、8、16、32，但是在r的范围内，它们每一周期花费的时间变短了。然后你可以看到，在r=3.57左右，它变得混沌。仍有一些短暂的时期，它又回到了非混沌状态。你可以在随机性之间看到那些白条。
另一个例子是切比雪夫多项式（ Chebyshev polynomials）。有无数个这样的例子，它们都具有很强的混沌性。
这里是一个三阶切比雪夫：
这些地图很混沌，它们可以代替完全随机的噪音。
切比雪夫多项式也被用于密码学中，因为它们不可预测，但对0非常对称。
现在，让我们来谈谈Mixmaster宇宙中的混沌情况。
Mixmaster引入了三个比例因子，a、b和c，每个空间方向都有一个。因为它们是同质的，所以它们随时间变化，但不随空间变化。另一方面，因为它们都可以是不同的值，所以宇宙不是各向同性的。
你可以将下面的Mixmaster宇宙与标准宇宙，即FLRW宇宙进行比较，后者只有三个方向的一个比例因子。
- 两个比例因子振荡，而一个收缩和膨胀。(约翰-D-巴罗)
- FLRW宇宙学（维基媒体）
为了证明Mixmaster宇宙是混沌的，你必须把它还原成一个一维映射。爱因斯坦方程保证了其中一个比例因子，比如说c，取决于另外两个，a和b，所以它已经是二维的了。
在这种情况下，两个维度仍然太多，我们可以使用一个数学技巧将其进一步减少到一个维度，这个数学技巧被称为庞加莱回归映射。一些二维或更多维的空间，那么你该空间的轨迹必须通过它的一个横截面。
如果回归映射是混沌的，那么高维一定也是混沌的。我们可以证明，该映射对于Mixmaster是混沌的。
- 庞加莱地图。
不幸的是，在爱因斯坦的宇宙中，这还不够，因为我们总是可以选择新的坐标系，我们怎么能知道没有一个坐标系可以完全消除混沌的呢？尤其是李亚普诺夫指数，是依赖于坐标的，所以在这种情况下作为混沌的指标是不可靠的。
在90年代末，人们设计了一种与坐标无关的分形方法，并表明米斯纳的宇宙确实是混沌的。
这种分形方法（而不是研究对初始条件的敏感依赖），表明Mixmaster宇宙的动力学包含一个奇怪的排斥物，它类似于一个奇怪的吸引子，但具有排斥性，因为系统倾向于远离它而不是流向它。这有点像球滚向山顶而不是山谷。
趋向于被一个特定的吸引子吸引或被一个排斥子排斥的一组初始条件被称为它的吸引盆地或排斥盆地。如果该盆地有一个边界是分形的，那么你就知道它是一个奇怪的吸引子或排斥子，系统是混沌的。
例如，二维系统：
有一个分形盆地边界，你可以在所有的峰上看到：
Mixmaster宇宙有一个类似的分形边界。对于数学来说，当膨胀理论作为CMB的一个良好的解释时，所有对Mixmaster宇宙的兴趣都消失了。但我认为，Mixmaster宇宙还是值得研究的。
主要原因是我们认为广义相对论中隐藏着更多的混沌，但相对论方程（有十个）是如此复杂，以至于我们不得不做出简化。Mixmaster是寻找这些混沌区域的指南。
另一个原因是，Mixmaster宇宙可能会出现在量子尺度上，那里的波动可以产生各种极端的几何形状。在这种情况下，在这种情况下，Mixmaster可能代表在普朗克长度的量子泡沫中的混沌气泡。这可能有助于理解引力和真空涨落之间的关系，也有助于解释暗能量。
Mixmaster 很重要的另一个原因是，混沌可能对解释引力的热力学至关重要，包括黑洞热力学，以及广义相对论中的随机性。引力本身的随机性是解释时间的一个候选者，因为它在宇宙中产生了一个流动的方向，这种流动可能就是我们体验时间移动的方式。
有一件事是肯定的，Mixmaster将永远是一个明确的指标，即混沌生活在宇宙的跳动的心脏中。