作者：汪晓勤
来源：科学出版社数学教育
求学剑桥
剑河上的牛顿桥
1661年，牛顿如愿以偿，成为剑桥大学三一学院的学生。牛顿如饥似渴，古希腊哲学家柏拉图、亚里士多德以及同时代哲学家和科学家笛卡儿、伽桑狄、霍布斯、波义耳、伽利略、开普勒等的著作如甘泉般滋润着他的心灵，为他提供丰富的思想养料，并促进他的独立思考。1664年，他在自己撰写的题为《哲学的若干问题》的小册子中写道：“柏拉图是我的朋友，亚里士多德亦是我的朋友，但我最好的朋友是真理！”
刚进剑桥的时候，牛顿的数学知识少得可怜。大二时，他在剑桥大学附近的集市里买到一本有关占星术的书，但书中的数学内容使他如坠五里云雾。为此，他想从一本三角学著作开始学习数学，但由于缺少几何知识，他还是裹足不前。或许是在他的恩师、刚刚担任三一学院卢卡斯数学教授的巴罗先生的建议下，他开始阅读《几何原本》。从此，他逐渐走进数学世界。前辈数学家的著作为他学习和研究数学创造了良好的条件。1631年，他的校友、国王学院毕业生奥特雷德出版《数学之钥》；1646年，荷兰数学家舒腾编辑出版《韦达数学全集》；1649年，舒腾又出版笛卡儿《几何学》的拉丁文版（1659年再版）；1655年，牛津大学萨维利几何学教授沃利斯出版《无穷算术》。
自然哲学之数学原理（1687）
牛顿不断从这些数学著作中获取灵感，有理数指数情形的二项式定理就是其中的典型一例。沃利斯在《无穷算术》中获得了一系列曲线
下的面积，它们分别为
我们今天有了二项式定理和定积分知识，很容易得到上述结果。但是，牛顿上大学以前，对正整数情形的二项式定理一无所知，虽然帕斯卡早在1654年就写好了《论算术三角形》，但该书的出版却是在帕斯卡去世之后的1665年。但观察沃利斯的结果，牛顿马上就发现了面积表达式中的规律（按照升幂的顺序）：
· 各项系数的符号交错出现；
· 各项系数的分母为奇数1，3，5，7，…；
· 第二项系数的分子为等差数列1，2，3，4，…；
· 各项系数的分子依次对应于为11的乘方的各位数，即对应于以下数表中每一行：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
· 若第二项系数的分子为n，则以后各项系数的分子分别为
牛顿马上将上述规律类比到以下曲线下的面积：
分别得到
牛顿又把上述规律类比到更多的曲线，如
在得到上述规律之后，牛顿马上得出原函数的无穷级数表达式：
一般地，牛顿得到
这样，牛顿在数学史上首次将二项式定理推广到一般有理数指数的情形。如果说帕斯卡为正整数指数幂情形下的二项式定理划上了句号，那么，牛顿则完全超越了他的前辈，书写了二项式定理的崭新篇章。牛顿二项式定理在数学上是如此重要、如此著名，以致在牛顿去世之后，有好事者猜测该定理会被刻在他的墓碑上（事实上并没有）。
伦敦瘟疫
丽塔 · 格雷尔油画“大瘟疫1665”（2009）
1665年4月，牛顿获得了学士学位。正当牛顿踌躇满志、继续向剑桥大学三一学院研究员的目标迈进之际，一百公里以外的伦敦爆发瘟疫的坏消息不断传来。瘟疫从伦敦城的外围迅速蔓延到了市中心，每周的死亡人数不断攀升。丹尼尔·笛福说得好：“瘟疫像一场大火，如果起火的地方只有几座房屋受牵连，那就只会烧毁几座房屋；如果是在单幢房，或者按我们的叫法是在孤房里烧起来，那就只会烧毁那座起火的孤房；但如果是在一座建筑密集的市镇或城市里烧起来，到了紧急关头，火势越来越猛，那它就会在这整个地方蔓延开来，然后将所到之处吞噬殆尽！”到夏天，疫情肆虐达到了顶峰，不仅使整座伦敦城笼罩在死亡的阴影中，而且对伦敦周围地区构成了巨大的威胁。关闭学校、返乡隔离的通知下达到了剑桥大学的每一个学院。
回到故乡
乌尔索普村牛顿家的房子（采自E. F. 金《牛顿传略》）
牛顿收拾行囊，回到了故乡——林肯郡的乌尔索普村（今属格兰瑟姆市）。牛顿家的房子是他祖父于1632年购得，给生于斯长于斯的牛顿留下了许许多多童年和少年时代的回忆。母亲在第二次婚姻中给他增添了同母异父的一个弟弟和两个妹妹。十四岁时，继父（一位牧师）亡故，母亲带着三个孩子回到乌尔索普。彼时，牛顿在离家八英里的格兰瑟姆文法学校读书，但母亲却希望牛顿能够好好务农，承担持家重任，并不可思议地让他中途辍学！对农事了无兴趣的他，身上哪有一星半点的农夫基因？每到周末，母亲就让一位老仆人陪伴他去格兰瑟姆的市场上出售一些农作物，并购买一些生活必需品。但他压根儿就不适合做买卖。有时牛顿偷偷溜回学校宿舍，有时会蹲在篱笆边，忘我地看书。他还在一场暴风雨中，做了一次测量风力的实验。在叔父（曾经的剑桥高材生）的关心之下，他才回到格兰瑟姆的课堂，并以就读剑桥大学为目标。
避疫期间
昆丁 · 布雷克插画作品：苹果树下的牛顿（2009）
我们可以想象，避疫期间的牛顿，活动范围不会很大，和家人的交流也不会很多，基本上就在自己家里读书、静思、写作。大疫关闭了大学校园，却关闭不了牛顿的精神世界！
在避疫的两年时间里，牛顿在数学、光学和力学领域取得了重要突破。在微积分方面，牛顿于1665年构想了“流数术”。我们今天所说的函数，被牛顿称为“流量”（注意，不是我们今天所说的手机“流量”哦）；函数的导数，被牛顿称为“流数”。“流数”的概念似乎源于物理学中的速度概念——“流量”流动的速度就是“流数”。牛顿通过在表示“流量”的字母上方加一点来表示该流量的“流数”，可以表示为：
显然，牛顿所求的“流数”就是我们今天所说的“导数”。牛顿将上述比成为“初生量的初始比”或“消失量的终极比”。由于牛顿没有严格的极限概念，所以上述求流数的方法并不严谨，以致日后受到贝克莱大主教的激烈批判。另外，由于返校后没有及时发表他的“流数术”，导致日后他与莱布尼茨之间无休止的微积分发明权之争。
构想了“流数术”之后，牛顿将它应用于求曲线的切线和曲率。我们相信，在乌尔索普老家，牛顿关于微积分的思考远远不止“流数术”，因为他同时也在思考：如何根据“流数”来求“流量”。在“流数术”的应用过程中，牛顿很可能还悟出，前辈数学家眼中风马牛不相及、需要采用不同技巧才能加以解决的求切线问题、求最大值和最小值问题，都可以统一采用同一种分析方法；求切线问题和求面积问题所需要的不过是互逆的两种运算而已。近两个世纪之后，在遥远的东方，中国数学家李善兰在学习微积分之后，不禁发出如下赞叹：
由是，一切曲线、曲线所函面、曲面、曲面所函体，昔之所谓无法者，今皆有法；一切八线求弧背、弧背求八线、真数求对数、对数求真数，昔之视为至难者，今皆至易。呜呼！算术至此观止矣，蔑以加矣！
微积分是数学史上最重要的发明，它使数学这门古老的学科插上了腾飞的翅膀，使其以前所未有的速度向前发展；同时，它为人类认识世界、解决不同知识领域中的难题提供了一把万能钥匙。微积分能够帮助我们更深刻地理解什么是“积微成著”，什么是“水滴石穿”，什么是“失之毫厘，谬以千里”，什么是“一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴”，什么是“一沙一世界，一花一天堂，双手握无限，刹那是永恒”。
如果把人的成就比作“流量”，那么他经过每一瞬间“ο”之后，这“流量”的增量与这个“ο”的比值，正刻画了人生的“流数”，即一个人进步的速度。
牛顿在乌尔索普的第二项重要发现是太阳光的分解。从亚里士多德时代开始人们就一直相信，太阳光是纯粹的单色光。1666年，牛顿从附近集市上买来三棱镜，并进行光学实验——后来成了科学史上最著名的实验之一。通过暗室中的三棱镜实验，他惊奇地发现，太阳光被分解成了红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫七种不同颜色！我们完全可以想象，牛顿的书房不知不觉成了他实施科学探究的实验室。
德国邮票上的牛顿与三棱镜实验
牛顿的第三项发现因苹果落地的故事而广为人知：在乌尔索普的一棵苹果树下，一只苹果从树上掉下来，激发了牛顿关于万有引力的灵感。当然，也有人怀疑故事的真实性，包括19世纪著名数学家德摩根；但更多的人都相信故事是真实发生过的：在那宁静的乡间，习惯于在苹果树下思考问题的牛顿，突然听到一只苹果落在地上发出声响，因而思索苹果落地的原因，最终彻悟宇宙的普遍规律。如果换一个人，换一个时间，一个生活在5G时代、对自然界的秘密毫无好奇心的庸人在苹果树下用苹果手机刷着微信，突然听到苹果的落地声，于是浮想联翩、灵光闪现……那不用说是无聊的杜撰。但是，苹果树下坐着的是1666年避疫在家的牛顿，你很难让人相信这仅仅是人们的臆想。实际上，牛顿的侄女凯瑟琳·巴顿曾经向参加过牛顿葬礼的法国思想家伏尔泰讲起过这则故事，1741-1752年间担任英国皇家学会会长的马丁·福克斯也和他人说起过这则故事。
后来，牛顿用数学的方法证明了万有引力定律以及力学三大定律，并将其写进《自然哲学的数学原理》（1687）中。欧洲的知识阶层普遍认为：上帝创造了世界，而牛顿发现了上帝创造世界的方法！万有引力定律以及其他力学定律的发现，深刻地改变了人类的世界观，人类不再像英国哲学家休谟所说的那样，“被悬挂在永恒的疑惧之中”，“既没有足够的智慧预见未来，也没有能力防止那些使我们不断受伤害的不幸事件发生”，而是坚信：自然界是有规律的，而规律是可以认识的，并且是用数学来刻画的！
1727年，英国诗人蒲柏为牛顿撰写了墓志铭：
自然和自然的规律在黑夜里隐藏，
上帝说，‘让牛顿来吧’，
于是一切都变得光亮。
回顾牛顿避疫期间的科学发现，我们不禁要问：在整个人类历史上，还有谁能拥有如此不平凡的两年时光？
疫情过后
牛顿塑像（采自E. F. 金《牛顿传略》）
1666年，伦敦大疫伴随着一场前所未有的大火画上了句号。剑桥大学于1667复课，牛顿和其他学生一样，从家乡返回。四年的积累，两年的沉淀，如今的牛顿业已成为世界一流的数学家和物理学家。就在剑桥大学复课当年的10月份，他被选为低级研究员（minor fellow），翌年7月，他又被选为高级研究员（major fellow）。巴罗教授敏锐地发现了牛顿的才能，于1669年将这位学生的论文寄给伦敦的柯林斯（柯林斯和世界各地的数学家有着广泛的通信联系），希望他通过通信，让世界上更多的数学家了解牛顿。同年，巴罗毅然辞去卢卡斯教授职位，并力荐牛顿作为他的继任者。27岁的牛顿顺利成为卢卡斯数学教授。
从此，一颗璀璨的科学新星，不仅点亮了工业革命的前程，更是照亮了人类文明的天空。
结语
牛顿墓（威斯敏斯特教堂）
1665年的那场大疫，让无数人生活在恐惧、谵妄和迷信之中。作为一名剑桥学子，牛顿可能并没有为抗疫做出过什么直接的贡献，但他通过自己的科学著作，给予人类前所未有的理性，正是这种理性，一方面，让人类在遇到灾难的时候，能够沉着冷静、充满信心地去寻找科学的治疫良方；另一方面，他很好地利用了避疫的两年时光，心无旁骛地做自己喜欢的研究工作，一举超越了他在剑桥的所有同学，为未来的发展打下坚实的基础。
三个半世纪之后的今天，人间又逢瘟疫。绝大多数居家避疫的人或悼念逝者，或为病者祈福，或给予疫区微薄捐助，或充当键盘侠发正义之声，或不停转发各类信息（其中谣言甚多），除此之外，对于疫情本身大抵是无所作为的。无聊乎？厌倦乎？茫茫然无所适从乎？饱食终日无所事事乎？想想乌尔索普村那棵苹果树下的牛顿。
一个人在自己专业领域的耕耘、坚守与创获，正是大疫期间让自己有功于国家、有益于世界的正途。
（作者简介：汪晓勤，华东师范大学教师教育学院教授，博士生导师，HPM工作室主持人。主要从事数学史与数学教育研究。)