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永远改变逻辑学的两条定律,逻辑学中的一个重大转变

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老胡说科学 2021-09-17 03:30

人类对逻辑的理解有着悠久而丰富的历史。在过去,逻辑被视为与所有其他形式的研究密不可分,从亚里士多德到孔子的伟大思想家,在他们的论证中都非常依赖基本的逻辑推理。在欧洲,亚里士多德提出的逻辑论证在大多数情况下,直到16世纪都没有受到挑战。

是莱布尼茨首先开始继续亚里士多德的工作。在1680年代,他研究了自己的符号逻辑形式,他称之为 "理性的微积分"。然而,他的研究直到1900年仍未发表,因此影响不大。其他许多人也试图超越亚里士多德所做的工作,但却没有取得什么成功。

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  • 德-摩根(左)和乔治-布尔(右)。

直到19世纪,乔治-布尔(你可能通过布尔变量认识他)和奥古斯特-德-摩根的出现(以及其他许多人)。这两个人精心设计的代数逻辑系统,在数学和哲学界获得了巨大的吸引力。

使用这种新的逻辑系统,就有可能正式表述以前的学者们所提出的许多理论。这正是德-摩根在正式确定德-摩根定律时所做的。这两条法则早就已经被亚里士多德等人所认可,但德-摩根能够使它们变得严谨而具体。

在这篇文章中,我将从集合论的角度来介绍德-摩根的法则,它们在形式逻辑中也有相同的对应物。首先,让我们定义几个基本符号。

我们可以把一个集合A定义为一个对象的集合。A的实际内容在这里并不重要,只是它是一个集合,每个对象要么在A中,要么不在。这些对象也是U的一部分,即全集,它包含一切。请注意下面的图1,U中有些对象不包含在A中,但A中的每个对象都在U中。

  • 图1:U中的集合A(灰色阴影)。

那么,不在A中的所有对象呢?为了表示这一点,我们用A'来表示。这被称为A的补集。我在下面的图2中展示了这一点。

  • 图2:集合A'(有一撇,如果没有显示)(灰色阴影)。

只需要再定义两个符号。如果有两个集合A和B,那么我们可以用两种运算将它们联系起来:和(∩)和或(∪)。

表达式A∩B描述了只存在于两个集合(A和B)中的对象,而A∪B则描述了A中的所有对象以及B中的所有对象(A或B)。这可能让人困惑,看看图3就明白了

  • 图3:A∪B(左)和A∩B(右)。

很好,现在我们可以陈述摩根定律了。它们是非常简单的

这些都可以用集合论的语言来正式证明,但我不会在这里证明。相反,我向你提出挑战,请你画一个与我所介绍的类似的图,并推理这两个等式都是成立的。

这些定律是简单推理的形式化表示,是逻辑学中一个重大转变的代表,即走向符号(形式)。布尔和德摩根都是这一转变的关键人物,他们帮助定义了逻辑领域今天的面貌。如果你想了解这些定律在逻辑上的含义。

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