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薛定谔方程——量子力学皇冠上的明珠,破译其背后的奥秘

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老胡说科学 2021-09-16 15:20
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量子力学无处不在,从地球上的最小角落到太阳的核聚变,这一基本的物理学理论在我们理解宇宙的发展过程中起到了非常重要的作用。量子力学中交织着许多了不起的定理,但其皇冠上的明珠无疑是薛定谔方程。虽然它乍一看很复杂,但我们将在本文中解析它,它实际上是相当简单的,每个人都可以理解。

量子力学

量子力学的主要目的是在原子和亚原子粒子的尺度上对物体的物理特性提供准确的描述。在其发展之前,每个人都期望这种尺度的粒子的行为能用经典力学解释。然而,令所有人惊讶的是,不仅不是这样,量子世界远比我们想象的要奇怪。

事实证明,亚原子粒子的领域在本质上是非确定性的。这意味着,我们永远无法确定一个亚原子粒子的位置,或任何其他物理属性。亚原子世界是由概率决定的。这在当时是一个很大的启示。我们的宇宙在基本层面上不是确定的,这一事实不仅在物理学上,而且在哲学上都引起了争论的爆发。

波函数

薛定谔方程是由埃尔文-薛定谔在1926年提出的,内容如下:

一些熟悉高等数学的人可能会认出上面的一些或全部符号。

上述方程中表达的内容有很多,但有一点很突出,就是希腊字母Ψ。这就是通常用来表示波函数的符号。但什么是波函数?

所有物理学中最为重大的发现之一是波粒二象性,它表明,所有的物质都有波的性质和粒子的性质。这并不意味着一个粒子,也是一个波。然而,在某些情况下,其行为最好用通常用于描述波的函数来描述。

薛定谔

亚原子粒子具有一些波的特征。但波函数究竟描述了什么?这是有趣的部分,也是量子力学起初难以理解的原因。马克斯·玻恩在1926年提出了这个关键的假设。

在某一点找到一个粒子的概率密度,在测量时,与该点的粒子波函数的大小的平方成正比。

让我们把它分解一下。

在薛定谔方程中出现的波函数,在本质上是一个复数函数,以时间t和三个空间坐标x、y、z作为其参数。复函数是说它在给定输入值时能产生复数的函数。因此,作为一个复函数,一开始确实很难想出一个适用于现实世界的解释。我们知道它不能描述粒子的位置或加速度,例如,因为如果它描述了,它就会是一个实数函数。

但后来,马克斯-博恩提出了一个想法:也许波函数与概率有关。但概率是实数,因此,他认为我们可以取其幅度的平方(每个复数和函数都有一个振幅)来获得一个实值,而不是直接将其值与概率联系起来。玻恩是正确的。

一个具有动量p和能量E的粒子的波函数或德布罗意波

让我们回顾一下到目前为止我们所说的内容。

亚原子粒子的行为与经典物体不同。它们既拥有类似波的特性,也拥有类似粒子的特性。此外,描述这种大小的粒子的方程在本质上是概率性的。薛定谔方程中的波函数是一个函数,其在空间和时间的某一点的值与粒子当时在那里的概率有关。它是如何相关的呢?它的大小的平方是概率密度(也就是每单位体积的概率),我们在空间的某个位置找到粒子的概率。

所以这就是波函数所表达的。上过概率课程的人可以预见到它的一些特性。首先,我们对归一化的波函数感兴趣。

波函数的归一化 。为了简单起见,这是一个一维(x维)的波函数

如果我们想一想,这是很直观的。由于波函数大小的平方(等于我们在积分里面看到的波函数与其共轭物的乘积)给出了概率密度,那么我们要求总的概率是1。

我们已经“破译”了波函数背后的奥秘。现在让我们深入研究薛定谔方程。

薛定谔方程

记住我们到目前为止所说的一切,薛定谔方程描述了概率波的形式,它们是如何随时间演变的,以及它们在外部影响下的行为。让我们把它一点一点地分解。

从左手边开始,我们首先遇到的两个符号是 "i"(虚数单位)和 "h"(普朗克常数)。尽管这些数字(符号)本身非常重要,但它们对于理解薛定谔方程并不重要,因此,我们在本文中不会涉及它们。

我们遇到的下一个表达是波函数的时间导数。时间导数本质上是告诉我们某些东西相对于时间的变化速度。在这种情况下,是波函数的变化有多快。

H上面加个“帽子”被称为哈密尔顿算子。对于那些不熟悉这个概念的人来说,简单地说,算子是一个函数,它的输入不是一个数字,而是另一个函数本身!它们将一个函数转换成另一个函数。例如,我们可以将运算符A定义为任意给定函数f = f(x)并将其乘以x的算子:

哈密顿算子的公式稍微复杂一些。

哈密顿算子

它一开始看起来很吓人,但它实际上是相当简单的。通过代入算子来写薛定谔方程,我们可以得到:

薛定谔方程。

你要理解的不是数学符号,而是哈密尔顿算子的本质。

哈密顿算子与我们系统中的动能和势能有关。

势能部分应该很清楚。上述总和中的第二项实际上是V(x,t),它是施加在系统上的外部势能。不明显的是动能。事实证明,和中的第一项本身就是量子力学中的一个算子,它与特定状态的动能有关。

这里有很多细微的差别,但这并不重要。你所要记住的是,哈密尔顿算子与系统的总能量有关。重要的事再说两遍:

哈密尔顿算子与系统的总能量有关。

哈密尔顿算子与系统的总能量有关!

薛定谔方程告诉我们,波函数或量子态正在随着时间的变化而变化。它的变化方式取决于系统的总能量(势能+动能)。

结论

薛定谔方程是所有物理学中最著名的方程之一。它使我们能够对各种量子系统以及它们如何随时间演变做出准确的预测。然而,它的应用也有一些限制。事实证明,对于包含众多粒子的系统来说,即使是用最强大的计算机,要解薛定谔方程也是非常困难的。很多专家希望,当我们发明了量子计算机后,这一限制将被解除,但就目前而言,这一优雅的方程并不适合描述大规模的量子系统。

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