作者：冯尤嘉
来源：《知识就是力量》杂志
音乐和数学都与我们的生活有着密切的联系。音乐能陶冶情操，使人放松心情，在影视作品中更是烘托氛围的绝佳选择。数学运用在我们生活的方方面面，小到超市折扣，大到宇宙探索，都离不开数学。音乐和数学更是有着奇妙的共通点，音乐中的节拍与数学中的数列都有着自身的规律。而若是在音乐中探寻数学的影子，又会给我们带来怎样的意外收获呢？今天，就让我们进入音乐中数学的奇妙世界吧！
乐曲《茉莉花》第一个小节的乐谱与对应的数学算式（绘图：飞飞）
肉眼可见的数字和音乐
音符与数字
在简谱中，我们最为熟悉的音符do至si被表示为数字1-7。在数学中，数字0-9组成了千奇百怪的算式，因此，音乐中的1-7也能构成千变万化的乐章。
值得一提的是，钢琴键在一个八度中共13个键，由8个白键与5个黑键组成。其中5个黑键又分成2个一组和3个一组，正好和斐波那契数列（黄金分割数列）中连续的5个数字——2、3、5、8、13重合，不得不说是一个美妙的巧合。
节拍与分数
在一首音乐中，我们时常会听到几个乐章，乐章中又分成小节，小节又能细分成不同的音符。每个音符所对应的节奏都能够用分数来表示，例如八分音符代表着1/8，即8个八分音符能够组成一拍。利用不同长度的音符，自然就能组成各式各样的节拍，而这些都能够用分数来表示。
以民族乐曲《茉莉花》举例，第一个小节分别由1个四分音符和6个八分音符组成，写作算式就是：1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 4/4，正好是一个小节。在更复杂的编曲中，要用到各种长短不一的音乐符号，涉及各种附点音符和休止符，可以说要想编出精妙而严谨的曲子，还需要掌握数学知识才行。
钢琴黑白键上的音名、唱名、简谱
旋律与几何
在编曲中，比较常用的一种手法是将一段旋律以相同的节奏，但整体向上或向下挪动几个音符。用数学几何来解释的话就是“平移”。例如贝多芬著名的《命运交响曲》（又名《c小调第五交响曲》），乐曲开头充满了震慑力，再细看乐谱，我们能够清晰地看出，后两个小节是将前两个小节的音符进行了垂直平移，使得后两个小节的音调整体变得更为深沉和强烈。
《命运交响曲》乐谱进行的几何平移
还有一种编曲手法被称为“逆行”，即将一段旋律从后向前重复一遍，使旋律形成左右对称的“镜像”。这一手法在谱面上的表现，不正像在平面直角坐标系上的水平翻转吗？
在编曲中用到的“逆行”手法，使旋律形成左右对称的“镜像”
编曲美学与黄金分割
黄金分割可以说是数学在艺术领域上的一个突出体现。在一个线段AB中，取一点C，使得AC∶BC = BC∶AB，而这个比值就是0.618。
有趣的是，在许多著名的音乐作品里，高潮往往安排出现在一首曲子中心点偏后的位置，从而在乐曲中形成了“黄金分割”比例。例如肖邦的《降D大调夜曲》，不计算前奏的话共有76小节。76x0.618=46.97，按照黄金分割的理论，高潮部分应该出现在46小节。而《降D大调夜曲》力度最强的高潮正是出现在46小节，可谓是对黄金分割的绝佳诠释。另据美国数学家乔巴兹统计，莫扎特的所有钢琴奏鸣曲中有94%符合黄金分割比例，不禁令人感叹这是多么奇妙的巧合。
艺术之美都是贯通的，无论是我们熟知的绘画、雕塑作品，还是音乐作品，只要其中运用了黄金分割，那这样的作品往往更受人青睐，这无疑是数学在音乐乃至艺术中的体现。
优美的弦振动公式
弦振动频率示意图
提到音乐，就不得不提乐器。在乐器中，具有一定的规格是十分重要的。乐器的每根弦、每个气孔、琴码或踏板的位置都要根据标准精心调试，达到分毫不差。否则，一件乐器在不同的师傅手中，就会出现不同的调式。如乐团中常见的乐器长笛，通过向管内吹气，气流在管中碰撞，并通过共鸣管产生共鸣，按下按键则能够改变笛声的音色音调。这样精妙的设计，自然需要统一的制作，因此我们看到在市面上出售的长笛也会标明笛子的规格。
制作乐器利用的就是声音的振动原理。18世纪，英国数学家泰勒发现了弦振动频率的公式：
其中f表示频率；l表示弦的长度；T表示弦的张力；ρ表示弦的密度。
这表明对于材质与粗细均相同的一根弦，频率与长度成反比；相差一个八度的两个音振动频率之比为2∶1。按照这个标准，我们就能够准确地测量乐器的音高了。假定一根空弦发出的声音是do，则1/2长度的弦发出的是高八度的do；以此类推，8/9长度的弦发出re的音，64/81长度的弦发出mi的音，3/4长度的弦发出fa的音，2/3长度的弦发出so的音，16/27长度的弦发出la的音，128/243长度的弦发出si的音。若要发出高八度或低八度的音，也可以通过此公式来推理得出。
乐器是按照一定的规格制定的，而规格的统一就是标准化，标准化其实就是数学化。这样统一化的生产过程，就是数学参与在音乐中的最好证据之一。
音乐是感性的美，数学是理性的美。但无形中，二者又彼此纠缠，看似不同，实际密切联系。为了体验它们的魅力，人们在数学和音乐的世界里不断探索。