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一个数学问题彻底改变了我对数学的看法

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老胡说科学 2021-09-13 01:50
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在这篇文章中,我想讨论最早的一个问题,它完全改变了我对数学的看法。这个问题来自2009年的英国数学奥林匹克竞赛。问题内容如下。

找出所有非负整数a和b,使得:

在研究解这个题目的方法之前,我想解释一下为什么我这么喜欢这个问题,这只需要初等水平的算术知识便能解决。我喜欢侦探小说,能够根据一些零散的信息构建一个解决方案,对我来说几乎是一种超能力。

现在回想起来,一开始我只是认为数学只是为了完成一项工作,仅此而已。无论是计算税款,还是计算建筑材料的抗拉强度,我都明白数学是有目的的,但它似乎只是关于知道正确的公式以及如何应用它。 对于一些人来说,他们仍然是这样看待数学的。对我来说,现在我把每个数学问题都看成是一个谜。一个有待解决的谜团。

让我们开始解决这个问题。大多数人采取的第一步是将方程的两边平方。这是我们在解涉及平方根问题时被教导要做的事情。这也是我一开始所尝试的。

这样也许会好一点。我们减少了平方根的数量,这很好,但我们也给自己增添了另一个问题。这是这个问题教会我的第一件事。有时候,在直接应用一个看起来正确的方法之前,要问自己。

  • 这确实是你所知道的解决这个问题的最佳方法吗?
  • 如果这是你知道的最好的方法,这个问题的设置是否是你应用它的最佳方式?

让我在这里详细说明一下。我们所做的事情没有错。然而,在对方程进行平方运算时,我们加入了变量根号(ab)。这给我们带来了困难,因为我们现在无意中把变量a和b所提供的信息混为一谈。

如果我们首先将方程重新排列为:

然后我们可以再次对两边进行平方,这一次我们得到了:

注意,这一次我们又减少了平方根的数量,但我们又把变量a和b分开了。这似乎只是一个简单的区别,但它对我们如何进行接下来的操作有很大的影响。我们现在注意到这样一个事实,即我们新方程的所有项显然都是整数,除了2根号(2009b)。

下面是我从这个问题中学到的第二件事,即演绎推理。既然我们知道两个整数相加或相减的结果总是一个整数,而且我们可以把方程改写为:

我们可以推断出2根号(2009b)确实是一个整数。这是一个巨大的线索。

很少有数字的平方根会得到一个整数(事实上,如果你随机选择一个数字,它具有这种性质的概率为0,这个事实需要另一篇文章来解释)。

那么,我们怎样才能利用这一点呢?首先,我们将尝试将其进一步分解。把它看成是提炼你的信息中那些对你现在没有好处的 "多余的东西"。我们首先注意到:

因此,我们可以说:

所以,既然根号(2009b)是一个整数,那么我们一定有√(41b)是一个整数。因此,我们已经将我们的线索提炼成了一个更清晰的信息。

既然我们已经把信息提炼成最清晰的形式,接下来我们就把它拆开。特别是,我们问自己,"根号(41b)是个整数"到底是什么意思。这意味着对于某个整数c,我们必须得到41b=c^2,但是根号(41)不是整数,所以只有当b=41d^2时(对于某个整数d),这个式子才有意义,因为这允许我们写出41b= (41d)^2。这就是我们最后的、最能说明问题的信息。非负数b必须是这种形式:

  • 对于某个整数d。

把根号(b)移到原方程中的等号上并没有什么特别之处,我们可以很容易地从方程开始计算:

而且一切都会以完全相同的方式进行。特别是,我们会得出类似的结论:对于某个整数e,a=41e^2。我们把这称为对称论证,实际上,我们所要说的是,既然很明显一切都会完全一样,如果我们用变量a替换变量b,我们就不愿意再写下论证,而是直接跳到结论。

所以我们现在总共有以下信息(线索)。

事实上我们可以得出结论,由于a和b是非负整数,所以d和e也是非负整数。

因此,回到我们的原始方程,我们要填入这些线索,并试图得到一些我们之前无法得到的新东西。对我来说,这就像侦探回到嫌疑人身边,原本他应该是什么都不知道的,但现在侦探有了证据,嫌疑人开始出现破绽。

回到原来的方程,我们就有了下面的结果。

这当然是一个更容易解的方程。这个方程的d和e只有非常少的解。

由此,并回顾一下a=41e^2和b=41d^2,我们可以得到全部可能的解.

就这样,又一个谜团被“数学侦探”解开了。

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