拓扑学是数学的一个分支，研究物体在连续变形下的性质不变性。数学之外的其他领域也在研究拓补结构。当引入拓扑结构时，通常会想到一个著名的例子：一个甜甜圈（X）和一个杯子（Y）是两个拓扑上相同的物体，它们都是环面。把一个甜甜圈、一个杯子和一个环面连接起来的属性是，它们都是由一个孔构成的三维物体。另一方面，具有不同孔数的物体，是无法相互转换的（根据一定的变形规则），因此它们在拓扑上是不同的。对象上孔的数量是拓扑不变量的一个例子。物理中大多数拓扑不变量是一些几何量的积分。
拓扑学思想是在20世纪50年代被引入物理学的，大约在现代拓扑学形成30年后。拓扑学最初是一个纯粹的数学抽象领域，后来在整个物理学中得到了应用，如凝聚态物理、量子场论和宇宙学。
20世纪50年代，拓扑学被应用于物理学的第一个例子是，拓扑学帮助解释了光谱中出乎意料的特征，这些特征源于态密度中的奇点。
然而，拓扑学应用于物理学的历史始于1959年的一项有影响力的工作，该工作使物理学家重新思考“规范”，即类似于积分常数的任意性。在阿哈罗诺夫-玻姆实验中，由于空间拓扑的非平凡性，波函数的相位将会出现意想不到的非零值。
如何创建拓扑上非平凡空间？
随着100年前量子力学的引入，物理测量的概率与振幅的平方成正比。波函数的相位通常没有物理影响。这种理解随着阿哈罗诺夫-玻姆实验的进行而改变。实验发现，尽管总体相位无关紧要，但相位差可以产生可测量的结果。实验表明，带电粒子的波函数与其所处空间的拓扑结构有关。实验设置的关键部分包括引入穿透太空的磁场，本质上创造了一个奇点。这样的空间不是简单相连的，本质上看起来就像一个甜甜圈。
由于与规范相关的量在物理上是无法观测到的，物理学家们并没有考虑太多与规范相关的电磁势的意义，即使它明确地出现在当时已知的薛定谔方程中。电磁势，类似于拓扑语言中的贝里连接（ Berry connection ），与可测的规范无关磁场直接相关。磁场具有贝里曲率的意义，定义为贝里连接的旋度。在没有磁场的区域，贝里曲率是零。尽管如此，贝里连接还是非平凡的，因为具有奇点的空间在拓扑上是非平凡的。这个拓扑上的非平凡空间是如何影响带电粒子在其上运动的，这体现在另一个规范不变量上，贝里相位或所谓的几何相位，它是通过封闭路径上贝里连接的积分来计算的。贝里相位描述了一个复矢量围绕给定路径的整体相位演化。与洞的数量不同，贝里相不仅是空间的特征，而且是空间中物理状态的特征。
阿哈罗诺夫-玻姆效应在20世纪80年代被实验证实，测量的相被理解为贝里相的一种特殊情况。
拓扑在超导体中的表现
在大多数传统高温超导体上也可以看到同样的效果，即1935年发现的第二类导体。在磁场作用下， II型超导体具有超导和正常（非超导）之间的混合中间态，其中超导区域被磁涡旋穿透。与阿哈罗诺夫-玻姆效应类似，带有磁通量的磁涡旋将产生拓扑上的非平凡空间。然而，围绕涡旋的超导介质是电子的集体状态，因此，它可以通过一个独特的复量子力学波函数来描述。为了得到唯一的定义，波函数的相位最多只能相差2π的整数增量。因此，对相移的要求将限制必须量子化的涡中的磁通值。
超导材料的拓扑表现形式是磁涡旋，磁涡旋表现为拓扑缺陷，磁通量只能以整数量子为单位。
- 在磁场为6.93 μT，温度为4 K的条件下，用显微镜观察高温超导体SQUID的磁涡流图像。
在应用物理学中，SQUID器件是基于包含约瑟夫森结（Josephson junction）的超导环的非常敏感的磁强计，它是基于同样的阿哈罗诺夫-玻姆效应，利用通量量子化建立的。
拓扑学是一种分类物质状态的工具
在物理中应用拓扑的另一种方法不是通过观察不同材料样本的拓扑，而是动量空间的拓扑，实空间的傅里叶变换。
凝聚态物理的重要任务之一是对物质的状态进行分类，基本分类是固体、液体和气体。直到40年前，物理学家们认为他们有一个很好的方法来分类物质的相——对称性表征不同的相。冰的结构比水更有序（对称性更低），所以它们是两种不同的相。兰道（Landau）的理论非常成功，解释了每个相是如何用一个序参数来描述的，以及对称的丧失（称为对称破缺）是如何支配相变的。根据这种分类，我们可以区分磁铁、超导体等。
然而，随着一种新的绝缘子的发现，利用对称分类无法与普通绝缘子区分开来，基于对称分类是远远不够的。这种新型的整体绝缘子表现得像已知的普通绝缘子，但它有非常精确的量子化的金属表面。这种新型绝缘子的拓扑不变量与其表面态霍尔电导的测量值直接相关。这种新型绝缘子被命名为拓扑绝缘子。
认识到通过研究能带的拓扑结构可以提高物质的分类水平。
所有绝缘体在最高填充能级和第一导电能带之间有间隙。这种能量色散（或称能带结构）是在具有周期边界条件的动量空间中定义的，因此n维的动量空间等价于n维的环面。在这样的空间中，如果存在一个连续的变换，可以通过缓慢地改变哈密顿量（对应于系统总能量的算子）来将一个绝缘体转换到另一个绝缘体，而不关闭能量间隙，则两个绝缘体拓扑等价。相变从拓扑上分离出不同的相。
- 具有周期边界条件的平坦的n维曲面等价于一个n维环面。
尽管第一个拓扑绝缘体的发现是拓扑非平凡相的一个例子，但在拓扑分类中，对称仍然扮演着重要的角色。一些拓扑绝缘子只有在材料中存在特定的对称性时才会保持拓扑结构，比如量子自旋霍尔绝缘子。该绝缘子具有Z2拓扑不变性，在保持时间反转对称（局部作用于位置空间的非空间对称）的同时保持拓扑结构。
到目前为止，还没有实验实现拓扑超导体，但他们积极追求的边缘态是马约拉纳粒子，受粒子洞对称保护。对拓扑超导体的研究是激烈的，因为马约拉纳粒子构建拓扑量子计算机的块。
研究发现，时间反演对称保护的拓扑绝缘体和粒子洞对称保护的类似拓扑超导体可分为10类。相位也可以由空间对称保护，如旋转，反射，其他空间群对称，或任何提到的对称的组合。分类变得更加复杂。基于这些方法，不断预测新的拓扑材料，并在实验中实现。
因发现物质拓扑态而获得诺贝尔奖
尽管大多数重要的里程碑已经在20世纪70年代和80年代达成，本世纪头十年中期，拓扑绝缘体理论的提出，紧接着是拓扑绝缘体理论的发现，引起了广泛的关注，获得了大量的资金支持，以及全世界对材料拓扑结构的兴趣。
尽管引力波在2015年9月被发现，但他们的诺贝尔奖却意外地推迟到了2017年。2016年诺贝尔物理学奖被授予“拓扑相变和物质拓扑相的理论发现”。该奖项表彰了20世纪70年代和80年代在将拓扑应用于物理学方面的早期工作，这些工作最近先于大量新的拓扑相的预测和发现。
如何在实验中识别材料的拓扑结构？
拓扑绝缘体内部表现得像绝缘体，但有金属表面。拓扑材料的特点之一是它们具有无间隙的非常规边缘状态，这种边缘状态在材料的主体中产生并受到非平凡波函数拓扑的保护。由于间隙有限，这些边缘态的优势在于，它们对于有限尺寸的局域扰动是相当稳健的。因此，它们是良好的导电体，可以用于商业应用。
总结
总之，在物体上挖一个洞，就能得到一个杯子，这样就创造了一个拓扑上非平凡空间，但要在凝聚态物理中做类似的事情，不能简单地在物质样本上戳一个洞。然而，将磁通量应用于一种材料就能在空间中诱发奇点。这种空间的拓扑性质将在约束拓扑不变量- 贝里相时表现出来。
另一方面，当我们讨论拓扑材料和物质状态的分类时，波函数不是在实空间中定义的，而是在傅里叶变换（动量）空间中定义的。材料的非平凡拓扑结构的结果往往表现为非平凡甚至奇异的边界状态，这是由精密的实验仪器测量得到的。自拓扑绝缘体的发现以来，人们一直在努力分类、预测和发现新的拓扑材料。寻找新的拓扑相是一个非常活跃的研究领域，每年都有数十种新材料被预测出来。
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