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深层分析无限到底有多大,无限也有大小之分你敢信吗?

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宇宙时空 2021-05-21 19:14

我们上学的时候,相信老师都告诉过我们:偶数和整数一样多。

真的是这样吗?也多,因为偶数和整数都是无限多,所以大概真是一样多吧。但另一方面,偶数只是整数的一部分,还有剩下的奇数呢,所有整数应该比偶数多,不是吗?

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为了方便理解,先看一下“两个集合一样大”是什么意思。当我说我的右手和左右的手指一样多是什么意思?当然,两只手都是五根手指,但实际上更简单,根本不用输,只要看到它们能一对一地匹配起来就够了。

事实上,我们认为有些古代人说的语言里没有一个词能表达大于三的数,就用过这种魔法。例如,把羊从羊圈里放出去吃草,要记录出去了多少头羊,只要每出去一头就在旁边放一块石头,等羊回来的时候再把石头一块一块拿回去,就知道羊有没有丢,而不必一个个数。

再举个例子来说明匹配比计数更基本。假如你在挤满人的大讲堂演讲,每个座位都坐了人,而且没有人站着,那你就很清楚椅子的数目跟听众的人数一样多,即使你不知道两者的具体数目。

因为,这里所说的两个集合一样大的实际意思是,两个集合中的元素可以按某种方式一对一匹配起来。

因此再回到老师给我们说的整数和偶数一样多的问题,整数摆成一行,每个数下面写下它的两倍,我们能很清楚地看到,下面那行包含了所有的偶数,两行数字一对一的匹配起来,也就是说,整数和偶数一样多。

但依旧让我们苦恼的是,偶数看起来只是整数的一部分这个事实。事实上,如果以某种方式匹配元素不成功,那是不要紧的,说明不了任何事。只要找到一种方式,让两个几何的元素能够匹配,就可以说明两个几何有同样多的元素。

再问一个问题,所有的分数能排成一列吗?或许很难,因为分数实在太多了,而且一下子看不出哪个该排第一,还有该如何确保它们全都在列表中?

不过有个非常机智的办法能把所有的分数排成一列。这是19世纪末,格奥尔格-康托尔最先办到的。

首先,把所有分数摆成方阵,全都在里面。比方说要找117/243,它就在第117行,第243列。我们由此排出一列,从左上角开始,按对角线来回扫荡,跟已经选过的某一个表示同一个数的分数,跳过像2/2这样的,这样我们就得到所有分数的一张列表,也就意味着我们在整数和分数之间构造了一对一的匹配,尽管我们原以为分数或许应该更多!

真正有意思的还在后面。

我们都知道,并非所有的实数,即并非数轴上所有的数都是分数,比如根号2或者π,像这样的数叫做无理数,并不是说它们发疯了不讲道理,而是因为分数是整数的比(理),所以叫有理数,这意味着其余的是不成比的数,即无理数,无理数用无限不循环小数表示。

那么,我们能否在整数和所有小数的集合之间建立一对一的匹配呢?就类似下面这张图,有理数和无理数都包括。

也就是说,所有的小数能排成一列吗?

康托尔证明了这是办不到的。不是不知道怎么办,而是根本办不到。也就是说小数不可能排成一列,它们表示了比整数的无限更大的一种无限。所以,尽管我们熟知的无理数只有那么几个,像根号2和π,但无理数的无限其实要大于分数的无限。

有人曾说过,有理数(分数)就像夜空里的星星,而无理数则像无边的黑暗!

康托尔还证明,对于任何一个无限集合,只要用原集合的所有子集组成一个新的集合,就表示了比原集合更大的一种无限。这意味着,只要有了一种无限,就一定能造出更大的无限,只要做出第一个集合的所有子集的集合。然后还能造出更大更大的无限,只要做出后者的所有子集的集合,这样不断重复做下去!因此,大小不同的无限共有无限多种!

这些想法可能让你很难受,一时也难以接受,事实上并不只有你这样觉得,康托尔时代一些最伟大的数学家也对此十分反感,他们想把这些无限变成无关紧要的,想办法让数学不用它们也能运作。康托尔甚至还遭到人身攻击,情况坏到使他患上了严重的抑郁症,后半生都在反复出入精神病院。

但是他的想法最终胜出。如今它们被视为基础性的伟大的思想,做研究的数学家全都接受这些观念,所有大学的数学专业都学习它们!也许有一天,它们会成为常识!

但是还没有完。刚刚指出了小数(即实数)的集合是比整数集合更大的无限,康托尔想知道这两种无限之间是否还存在了大小不同的无限。他相信没有,但却无法证明这一点。

康托尔的猜想后来被称为“连续统假设”。1900年,数学家大卫-希尔伯特将连续统假设列为数学中最重要的未解决问题。1940年,库尔特-哥德尔证明了“连续性假设不可能被证明”是不对的。而在随后的1963年,保罗-库恩证明了连续性假设不可能被证明是对的!

这些成果合起来表明,数学中存在着无法回答的问题,这真是令人震惊的结论。数学被恰当地视为人类推理的塔尖,但现在我们知道了就连数学也有它的局限,尽管如此,数学还是有一些真正奇妙的东西供我们深思!

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