我们上学的时候，相信老师都告诉过我们：偶数和整数一样多。
真的是这样吗？也多，因为偶数和整数都是无限多，所以大概真是一样多吧。但另一方面，偶数只是整数的一部分，还有剩下的奇数呢，所有整数应该比偶数多，不是吗？
为了方便理解，先看一下“两个集合一样大”是什么意思。当我说我的右手和左右的手指一样多是什么意思？当然，两只手都是五根手指，但实际上更简单，根本不用输，只要看到它们能一对一地匹配起来就够了。
事实上，我们认为有些古代人说的语言里没有一个词能表达大于三的数，就用过这种魔法。例如，把羊从羊圈里放出去吃草，要记录出去了多少头羊，只要每出去一头就在旁边放一块石头，等羊回来的时候再把石头一块一块拿回去，就知道羊有没有丢，而不必一个个数。
再举个例子来说明匹配比计数更基本。假如你在挤满人的大讲堂演讲，每个座位都坐了人，而且没有人站着，那你就很清楚椅子的数目跟听众的人数一样多，即使你不知道两者的具体数目。
因为，这里所说的两个集合一样大的实际意思是，两个集合中的元素可以按某种方式一对一匹配起来。
因此再回到老师给我们说的整数和偶数一样多的问题，整数摆成一行，每个数下面写下它的两倍，我们能很清楚地看到，下面那行包含了所有的偶数，两行数字一对一的匹配起来，也就是说，整数和偶数一样多。
但依旧让我们苦恼的是，偶数看起来只是整数的一部分这个事实。事实上，如果以某种方式匹配元素不成功，那是不要紧的，说明不了任何事。只要找到一种方式，让两个几何的元素能够匹配，就可以说明两个几何有同样多的元素。
再问一个问题，所有的分数能排成一列吗？或许很难，因为分数实在太多了，而且一下子看不出哪个该排第一，还有该如何确保它们全都在列表中？
不过有个非常机智的办法能把所有的分数排成一列。这是19世纪末，格奥尔格-康托尔最先办到的。
首先，把所有分数摆成方阵，全都在里面。比方说要找117/243，它就在第117行，第243列。我们由此排出一列，从左上角开始，按对角线来回扫荡，跟已经选过的某一个表示同一个数的分数，跳过像2/2这样的，这样我们就得到所有分数的一张列表，也就意味着我们在整数和分数之间构造了一对一的匹配，尽管我们原以为分数或许应该更多！
真正有意思的还在后面。
我们都知道，并非所有的实数，即并非数轴上所有的数都是分数，比如根号2或者π，像这样的数叫做无理数，并不是说它们发疯了不讲道理，而是因为分数是整数的比（理），所以叫有理数，这意味着其余的是不成比的数，即无理数，无理数用无限不循环小数表示。
那么，我们能否在整数和所有小数的集合之间建立一对一的匹配呢？就类似下面这张图，有理数和无理数都包括。
也就是说，所有的小数能排成一列吗？
康托尔证明了这是办不到的。不是不知道怎么办，而是根本办不到。也就是说小数不可能排成一列，它们表示了比整数的无限更大的一种无限。所以，尽管我们熟知的无理数只有那么几个，像根号2和π，但无理数的无限其实要大于分数的无限。
有人曾说过，有理数（分数）就像夜空里的星星，而无理数则像无边的黑暗！
康托尔还证明，对于任何一个无限集合，只要用原集合的所有子集组成一个新的集合，就表示了比原集合更大的一种无限。这意味着，只要有了一种无限，就一定能造出更大的无限，只要做出第一个集合的所有子集的集合。然后还能造出更大更大的无限，只要做出后者的所有子集的集合，这样不断重复做下去！因此，大小不同的无限共有无限多种！
这些想法可能让你很难受，一时也难以接受，事实上并不只有你这样觉得，康托尔时代一些最伟大的数学家也对此十分反感，他们想把这些无限变成无关紧要的，想办法让数学不用它们也能运作。康托尔甚至还遭到人身攻击，情况坏到使他患上了严重的抑郁症，后半生都在反复出入精神病院。
但是他的想法最终胜出。如今它们被视为基础性的伟大的思想，做研究的数学家全都接受这些观念，所有大学的数学专业都学习它们！也许有一天，它们会成为常识！
但是还没有完。刚刚指出了小数（即实数）的集合是比整数集合更大的无限，康托尔想知道这两种无限之间是否还存在了大小不同的无限。他相信没有，但却无法证明这一点。
康托尔的猜想后来被称为“连续统假设”。1900年，数学家大卫-希尔伯特将连续统假设列为数学中最重要的未解决问题。1940年，库尔特-哥德尔证明了“连续性假设不可能被证明”是不对的。而在随后的1963年，保罗-库恩证明了连续性假设不可能被证明是对的！
这些成果合起来表明，数学中存在着无法回答的问题，这真是令人震惊的结论。数学被恰当地视为人类推理的塔尖，但现在我们知道了就连数学也有它的局限，尽管如此，数学还是有一些真正奇妙的东西供我们深思！