根据物理学家斯蒂芬·富勒、保罗·戴维斯和 W. G.盎鲁所描述的盎鲁效应，加速观察者的真空似乎是有温度的。换句话说，如果一个观察者在一个加速参照系中，他将探测到粒子，而在一个非加速参照系中，他将探测不到粒子。
- 图1：加拿大物理学家 W. G.盎鲁，盎鲁效应的共同发现者。
匀速运动
让我们考虑一个观察者，比如一个在宇宙飞船里的宇航员，以恒定的加速度在闵可夫斯基时空中运动。二维度规张量η的对应矩阵表示为：
- 式1：闵可夫斯基时空的度规张量η的矩阵表示。
对于c：
- 式2：二维闵可夫斯基线元。
利用固有时间τ参数化观察者的运动，我们得到以下两个条件（第二个条件通过微分第一个得到）：
- 式3：根据第一个条件（上），将2维速度归一化。第二个条件（下），通过微分第一个得到，说明2维加速度和速度是正交的。
加速观察者的视界
一个加速的观察者（受恒定力的影响）以双曲线运动（稍后将会显示）。如下图所示，一个加速的观察者可以超过光线，只要他出发足够提前。因此，他有一个以视界为界的隐藏区域。这类似于黑洞，那里也有一个看不见的区域，边界作为视界。
- 图2：草图显示，只有出发足够提前，一个加速的观察者就可以超过光线。
如下面的时空图所示，在t < 0时离开原点x=0的光子A追上了观察者。但是，光子B在t >0处的原点就不会追上观察者了。
- 图3：显示两个光子A和B的时空图。前者赶上观察者。后者从来没有。
由于在瞬时移动的惯性系（附在观察者身上的参照系）中，观察者处于静止状态，我们有：
- 式4：在瞬时移动的惯性系中，观察者处于静止状态，2维速度为u=(1,0)。
请注意，从公式3：
其中a是常数。这在任何惯性系中都适用，因此我们有：
- 式5：恒定加速度条件，适用于任何惯性参照系。
我们的目标是证明一个加速观测者将会探测到粒子的存在，而非加速观测者则探测不到。为了证实这一点，选择一个覆盖闵可夫斯基时空的新坐标是很方便的。这些坐标称为光锥坐标。
光锥坐标
这些坐标根据原始(t,x)定义为：
- 式6：光锥坐标的定义。
闵可夫斯基时空中相应度规张量的矩阵表示为：
- 式7：闵可夫斯基时空光锥坐标度规张量的矩阵表示。
用式7替换式3和式5中的η，得到：
- 式8：光锥坐标的一阶导数和二阶导数所满足的条件。
这些问题很容易解决。经过一些代数操作（包括缩放和坐标原点的移位），我们得到：
- 式9：式8中的方程组的解，描述一个加速观测器的轨迹。
由式6可知：
- 式10：描述加速观察者在(t,x)坐标下的轨迹方程。
现在请注意：
- 式11：在坐标(t,x)中，加速观察者的世界线是一个双曲线。
因此，我们得出结论，在t-x坐标系中，加速观察者的世界线是双曲线：
- 观察者最初在x→∞处移动，静止在x=1/a处，并在途中减速。
- 然后加速回到x→∞。
注意当x→∞时，他的轨迹接近光锥。
- 图4：在t-x坐标系中，加速观察者的世界线是双曲线。观察者最初在x→∞处减速，直到停在x=1/a处。停止后，他加速回到x→∞（注意，当x→∞时，他的轨迹接近光锥，用虚线表示）。
共动坐标系（Comoving Frames）
现在让我们为加速观察者找到一个运动坐标系。我们将寻找一个参考系：
- 当空间分量ξ¹=0时，观测者处于静止状态
- 时间坐标ξ⁰=τ，观察者的固有时间（沿着他自己的世界线的时间）
此外，在共动坐标系中，度规保形平坦是很方便的（当我们把量子力学包括进来时，这将变得很清楚）。根据定义，保角映射是局部保持角度而不一定保持长度的数学函数。
- 图5：保角映射的示例。在矩形网格（左）和f映射下的图像（右）中，成对的线相交于90°。
在保形平面流形中，每一个点都有一个邻域，可以用保形变换映射到平坦空间。因此，共动坐标系中的线元素具有如下形式：
- 式12：共动坐标系中的线元素。
Ω仍未确定。为了找到Ω(ξ⁰，ξ¹)的表达式，我们首先定义了移动参照系的光锥坐标：
- 式13：共动参考系中的光锥坐标。为了避免在ds²上出现光锥坐标的二次微分，我们必须有以下变量依赖关系：
- 式14：原光锥坐标与共动坐标系下的光锥坐标的关系。
只需几个简单的步骤，就可以快速地推导出式14中函数的实际形式。他们是：
- 式14：原始光锥坐标与共动参考系光锥坐标的显式表达式。
现在我们可以使用上面推导的结果来明确地写出式 12中的线元素：
- 式15：与Ω(ξ⁰，ξ¹)相接近的参照系中的线元素显式地表示。
这被称为伦德勒时空，与闵可夫斯基时空（没有曲率）等价。下图显示了伦德勒加速观测者的例子。
- 图6：二维时空中的伦德勒坐标。虚线所划分的区域是伦德勒楔形，它是共动光锥坐标的有效域。世界线（实双曲线）代表具有常数ξ¹的匀加速观测者，而虚线有常数ξ⁰。图中还显示了坐标系统中没有涉及到的三个事件。来自P和Q的信号永远不会到达观察者，而来自加速观察者的消息永远不会到达R。
坐标x和t可以用ξs变量表示：
- 式16：初始坐标x和t用ξs变量表示。
引入量子场
让我们考虑1+1时空中的无质量标量场。这个作用：
- 式17：无质量标量场在1+1时空中的作用。
是保角不变的：
- 式18：式17中作用的保角不变性
（g在这里是度规g的行列式）这解释了S在惯性系和加速系中的相似性：
- 式19：保角不变性解释了惯性系和加速来速系中运动的相似性。
将式6和式13写在光锥坐标下，我们可以很容易地确定场方程并求解它们。场方程的解为左右移动模态的和：
- 式20
方程的解和式14的这种性质意味着相反的运动模式彼此不影响，因此可以单独处理。为了避免混乱，我将从现在开始只写下右移模式。
到目前为止，没有涉及量子力学。我们现在将这个理论量子化。
在伦德勒楔形内部，坐标系重叠，我们可以按照标准规范化过程对理论进行量化，并展开量子场算子ϕ：
- 式21：量子场理论的标准模展开。
LM为左向移动模式。算符：
- 式22：展开方程式21中使用的创造和湮灭算符。
注意有两种真空状态，即：
- 式23：伦德勒真空和闵可夫斯基真空
“恰当的”真空取决于正在进行的实验。例如，从加速（或伦德勒）观测者的角度来看，闵可夫斯基真空是一种含有粒子的状态。换句话说，如果量子场处于闵可夫斯基真空状态，伦德勒观测者的探测器将记录无质量粒子的存在。相反，如果量子场在伦德勒真空中就不会。
a和b算子的关系
式22中算子之间的变换称为玻戈留波夫变换（Bogoliubov transformation）：
- 式24：关于a和b算子的玻戈留波夫变换。
- 图7：苏联数学家和物理学家Nikolay Bogolyubov
将式24代入式21，并进行一些简单的操作，就可以得到式24系数的表达式：
- 式25：式24中a和b算子的系数。
盎鲁温度
最终得到以下结果：
- 频率为Ω的粒子的平均密度由加速观测者测得
- 在闵可夫斯基真空中，由加速探测器测得的无质量粒子所服从的玻色-爱因斯坦分布的温度，即所谓的盎鲁温度。
平均密度为：
- 式26：加速观察者测量的频率为Ω的粒子的平均密度服从玻色-爱因斯坦分布。
温度等于所谓的盎鲁温度：
- 式27：由一个加速观测者测量的粒子的温度。
- 图8：三个统计量的基态平均占用率的比较。玻色-爱因斯坦分布是红线。
物理解释
可以这样解释盎鲁效应。量子真空的涨落与加速观测者携带的探测器相互作用。这种相互作用激励探测器，就好像它是在一个热浴中，温度由式27给出。请注意，这种波动的能量是由任何产生加速度的机制产生的。
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