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课程背景

对于现实的动力系统,并不是动力系统所有的解都能够被轻易观测到。有些解存在但几乎不会被观测到,只有具有某种稳定性的结构和结果才能被观测到。所以这种能够观测到的稳定性对于我们去观察和理解一个系统非常重要。

本节课程主要介绍了轨道稳定性和状态稳定性的含义和区别,通过大量的例子,详细介绍了状态稳定性判断的两种主要方法,李雅普诺夫函数和线性稳定性分析方法。

使用李雅普诺夫函数来判断定态的稳定性,具体方法是在定态附近找到它的李雅普诺夫函数,之后根据这个函数对时间演化的性质,进而判断系统的稳定性。由于李雅普诺夫函数是一个构造的方法,很多时候求解它会比较困难,使用起来具有一定的局限性。由于提出了一个相对简单且程序化的方法,线性稳定性判断的规则。

思维导图

概念/词条整理
  • 系统稳定的理解:如果对系统有扰动,它最后还会回到原来状态旁边,那么就是稳定的,如果远离了,就是不稳定。

  • 对两种稳定性的理解:轨道稳定性从轨道空间中两条轨道的可通过时间轴变换的距离角度来说明了一种稳状态的;状态稳定性则是从系统的定态入手,分析该系统的某个定态是否是稳定的。

  • 对定义指标ε的理解:ε是一个给定的稳定性指标,最终偏差小于它,则稳定;而δ则描述了稳定域的大小,即系统稳定的范围,或能忍受的最大干扰。当初始状态与平衡状态的偏差小于它时,则稳定。对于渐近稳定,实际上就是将稳定性指标取为ε=0,即要求系统最终状态完全回到某一状态,即以某一状态为极限点。大于ε则是不稳定的。

  • 李雅普诺夫稳定:如果此动力系统任何初始条件在 x 附近的轨迹均能维持在 x 附近,那么该系统可以称为在 x 处李雅普诺夫稳定。

  • 李雅普诺夫函数:若一函数可能可以证明系统在某平衡点的稳定性,此函数称为李雅普诺夫候选函数。不过目前还找不到一般性的方式可建构(或找到)一个系统的李雅普诺夫候选函数,而找不到李雅普诺夫函数也不代表此系统不稳定。

  • 线性稳定性分析:基本想法是如果系统离开某一状态微小距离后,考查该系统是否随着时间远离该状态。若不远离就是稳定,否则为不稳定。不仅可以用于定态,也可以用于随时间演化的状态。

  • 劳斯–赫尔维茨(Routh–Hurwitz)稳定性判据:这实际上是一个代数方程,将多项式的系数放到一个方阵中(此方阵称为赫维兹矩阵),证明多项式稳定当且仅当赫维兹矩阵的主要子矩阵其行列式形成的数列均为正值。

讲师介绍

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王大辉

北京师范大学系统科学学院教授,博士生导师,博士毕业于北京师范大学系统科学。专注于工作记忆容量、决策的神经动力学集智,神经系统的动力学行为,以及类脑智能算法的研究。研究方向:计算神经科学与类脑智能算法研究。个人页面:https://sss.bnu.edu.cn/tabid/246/ArticleID/2392/frtid/128/Default.aspx。

课程学习

学习地址:

https://campus.swarma.org/course/1684

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