施莱夫利给了我们最后一种表示四维多面体的方法。它应用了球极平面投影法。不过，这当然与喜帕恰斯在第一章中给我们看到的投影法不同！
考虑在四维空间内的一个球面。我们使用常见的方法来定义这样的一个球面：它是所有与球心等距的点之集合。我们已经知道三维空间中的球面是二维的，因为所有的点都可为经度与纬度表示出来。在某种意义上，三维中的球面可以视为「缺少了一个维度」：离球面之高度。故它只是二维的。同样的四维球面是三维的，而它亦「缺少」了一个同样是离球面之高度的维度。
在平面，即二维空间中，一个球面是什么呢？它是与一个中心点等距的所有点的集合，又被称为圆。故一个圆就是二维空间里的一个球面！而它很明显地是一维的，因为一个数字即足以描述圆上一点的位置。
更为惊人的是：在一维空间中，即一条线上，一个球面是什么？所有与线上一个定点等距之点的集合。只存在两个这样的点，一左一右……因此一维球面只含有两个点……毫不惊人地我们说它是零维的。
总结：n 维空间中的球面是 n-1 维的。所以，数学家们采用 S^(n-1) 这个符号。
本章开头解释了 S³ 球面是什么，不过当然连施莱夫利也没法让我们看到它。他充其量只能给您看着一个 S² 球面，接着请您假想着您是身处在四维空间中，努力想像 S³ 球面的模样。
喜帕恰斯给我们看的球极平面投影法是将 S² 球面投影到了其接于南极为切点的切平面。对于 S³，我们可以使用完全相同的方法。先接 S³ 球面于南极的切平面，然后 S³ 上除了北极外的任何一点即皆可被投影至此空间内。只要把从北极出发通过该点的直线延伸直至其与接于南极之切空间相交即可……即使是在四维空间中进行，这实是由我们之前早已见过的方法类推而来。
取
▲ 喜帕恰斯采用的球极平面投影
假设施莱夫利接着想要给我们看一种四维多面体。他的做法与我们对蜥蜴所使用的方法一样。他使多面体膨胀，直到它在 S³ 球面上留下其痕迹。然后，他就可以将其球极投影至接于南极之切平面上，即我们的三维空间中，而我们便可以观察此投影。
我们也可以把 S³ 球面放置于其切平面上滚动，同时投影，然后欣赏这些多面体舞动。注意：当球面上的多面体的其中一面滚过投影极点时，该平面在切平面上会形成一无穷投影，而我们就会觉得这一面好像是在萤幕上爆炸开来一样。在第一章中，当多面体被投影到平面上时，我们也曾有同样的感觉。
这就是第四章所要展示的：施莱夫利将四维空间中的多面体进行球极平面投影后，同时使其滚动。
四维空间的几何只不过是一个开端而已。还有五维、六维……与无穷维度空间！这些起初被认为是纯粹抽象概念的空间于现代物理中的应用颇广。爱因斯坦的相对论就使用到了四维的时空（space-time)。位于此时空中的一点可被三个描述位置与一个（第四个）描述时间的数字确认。
但相对论的厉害就在于它能使这四个座标在某种方面上合在一起，不致于过度偏袒时间或空间，进而使得这些座标失去了自身的特性。我们对这个理论并不多作解释，因为当时施莱夫利并不知道它！爱因斯坦的理论源于 1905 年，这远迟于四维空间的数学概念诞生之时。
物理与数学，在各具不同却又极为相近的目标与动机的情形之下，能够如此富有成效地互相作用，贡献出各自的方法，并非空前绝后之事……
另外，现今的物理不是假设了十维或更高维空间的存在性、量子物理也使用了无穷维度的空间吗？未来可能还会讨论十维空间的影片……。
文章转自dimensions-math.org，[遇见]有修改补充，转载请注明.