模态试验除了传统的实验模态分析EMA，工作模态分析OMA，声振模态和声腔模态之外，还有不常见的应变模态分析。应变模态分析使用应变片（或应变花）作为响应传感器，采用力锤或激振器进行激励，或者只测量工作状态下的应变响应进行OMA分析获得模态参数：频率、阻尼和振型。因此，从这一方面来说，应变模态分析与传统模态分析相同，但从其他方面来讲，它与传统试验模态分析又有着本质的区别。
01
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应用背景
传统试验模态分析通常采用加速度传感器作为响应传感器，但对于轻质结构而言，使用加速度传感器会存在问题。首先，最初想测量的结构上是没有这些加速度传感器的，这些加速度传感器会改变结构的动态特性，尤其是轻质结构。另一方面，当加速度传感器在结构上移动时，会存在数据不一致的风险。对于旋转类的结构，使用加速度传感器时，会导致动不平衡问题，还可能存在安全隐患。
应变反映的是结构在受力或温度场等因素作用下的变形。当考虑材料或结构的强度、承载能力、疲劳损伤等性能时，都是使用应变或与应变相关的应力来衡量。比如飞机机翼、航空器部件、风机叶片等结构进行静强度试验时，就是直接测量应变。汽车部件或其他机械部件在周期载荷作用下的疲劳耐久性能，结构的健康监测等都使用测量应变，应变数据是反映结构损伤、疲劳失效最直接的参数。因此，应变能提供加速度传感器无法提供的信息，起到与加速度信号提供信息互补的作用。在静强度测试的基础上，再进行应变模态分析，可洞悉结构的动力学特性，节省成本与时间。
图1 机翼的静强度试验
02
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相关理论
对于传统的位移模态，其频响函数FRF为：
式中， 表示位移模态向量，r表示第r阶模态。 为缩放因子。对于 个输入点， 个响应点而言，将频响函数矩阵中的留数展开成下式所示（省略了缩放因子）：
从上式可以看出，传统实验模态的频响函数矩阵是对称的，满足互易性，也就是说FRF矩阵的行与列包含了相同的信息。由FRF矩阵中任一行或列都可以得到结构的模态振型。因此，我们可以说，你可以用FRF矩阵的任一行或任一列去估计模态振型。但对于应变模态的频响函数而言，却不是这样。接下来，让我们来看一下应变的频响函数SFRF（Strain Frequency Response Function）。
应变的频响函数 ε 可以写成如下：
式中， ψ 表示应变模态向量，其他参数与传统实验模态相同，上标ε用于区别传统的实验模态。同样，对于 个输入点和 个响应点而言，将应变频响函数矩阵中的留数展开成下式（省略了缩放因子）：
从这个矩阵可以看出，对于任一输入输出位置之间的SFRF而言，从应变响应点处获得的是应变模态振型值，从输入点处获得位移模态振型值。对于传统的FRF矩阵，第一个下标表示响应点，第二个下标表示激励点。同样的道理，对于用振型向量表示的SFRF矩阵，第一个下标表示应变模态振型值，第二个下标表示位移模态振型值。
传统实验模态的频响函数矩阵是对称的，但应变模态的频响函数矩阵不是对称的。考虑上式中的任一行（如应变片位于一个测量位置，激励遍历所有测点），可以看出任一行都包含了各阶位移模态向量，但每一行只包含一个响应位置的应变模态振型值。考虑上式中的任一列（如在一个测点位置进行激励，所有测点都粘贴应变片），可以看出任一列都包含了各阶应变模态向量，但每列只包含一个激励位置的位移模态振型值。因此，应变模态的频响函数矩阵中各行包含了位移模态向量的信息，而各列则包含了应变模态向量的信息。
由于应变模态的频响函数矩阵不是对称的，因此，互易性是不满足的。但对于一些简单结构，如梁、板结构，互易性可以有条件地满足。对于均质的欧拉-伯努利梁，应变模态向量与位移模态向量有如下关系：
其中，h是梁中性面距梁表面的距离。根据相关理论，可以得到梁的弯曲模态振型的解析解：
式中，λ为波数，系数A1,A2,A3和A4取决于边界条件。而在0.3L≤x≤0.7L(L为梁的长度)的区域，可以忽略上式中后面两个双曲函数的影响，梁的弯曲模态振型简化为：
将上式代入应变模态向量与位移模态向量的关系式中，可得
考虑在0.3L≤x≤0.7L内的两个互易性测点“a”和“b”，如图2所示。采用锤击法进行互易性测量时，锤击“a”点，应变测点位于“b”点，得到“b”点的应变模态振型值与“a”的位移模态振型值相乘表示的频响函数，如图2中上一行左侧所示。锤击“b”点，应变测点位于“a”点，得到“a”点的应变模态振型值与“b”的位移模态振型值相乘表示的频响函数，如图2中下一行左侧所示。
图2 梁的SFRF互易性测量
将应变模态向量与位移模态向量的关系代入，有
而波数与中性面距梁表面的距离是常数，则有
进一步可以得到
这说明，应变的频响函数满足互易性要求，但前提条件是测点位于0.3L≤x≤0.7L区域。
对于应变模态的留数Aε可以写成（类似传统实验模态的留数）
将应变模态向量与位移模态向量的关系代入上式，可求解应变模态向量
对于平板类似结构，应变模态求解过程相类似，互易性在0.3Lx,y≤x,y≤0.7Lx,y区域也是成立的。如果在知道应变模态向量与位移模态向量的关系，则在求解应变模态之前，应先获得激励位置的位移模态振型值。
03
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测量应变模态
模态测试的第一步就是进行测点布置，传统模态试验的振动传感器方向与总体坐标方向保持一致。但应变片或应变花只能粘贴在待测结构的表面，这就明显与传统模态测试不同。
如图3所示，测量梁的弯曲模态时，加速度传感器布置在梁的Z向，但应变片却沿梁的轴向（X向）布置，这是因为当梁发生弯曲变形时，梁的伸长或压缩变形是沿轴向的。
图3 梁的应变测量布置
对于平板类结构，通常加速度只测量平板的法向，但应变测量只能沿板平面的两个水平面向，如图4所示。
图4 平板结构的应变测量布置
对于空间结构而言，每个加速度测点可以测量三个方向，但每个应变片测点只能粘贴在平面的两个方向，如图5所示。当然也可以采用应变花，有一个是沿45度方向。
图5 空间复杂结构的应变测量布置
从以上可以看出，应变测量的方向完全不同于振动传感器的方向，那么在测量时，如何设定方向呢？在这我们分别对使用应变片和应变花的两种情况进行说明。如果只是采用应变片，那么，应变片的方向通常是沿总体坐标系的一个方向，如果使用Testlab软件，可以在通道设置中的方向可以选s(标量)，在测点ID中注明方向，最后用颜色来显示应变模态振型，而非方向显示。如果使用三向的应变片进行测量，那么，仍在测点ID中标明相应的方向，方向设置仍设为s，最后仍然用颜色来显示振型，只不过，这时需要建立三个几何，分别对应应变花的每一个方向，如图6所示，底部所示的为切向的应变模态振型。
图6 底部为平板切向的应变模态振型
结构发生了弹性变形才有相应的应变响应，中低频的弹性变形相对更显著些，所以，应变更多测量中低频。另一方面，应变的幅值是非常小的，复杂结构通常也就几个或十几个微应变，这样导致信噪比特别低。如图7所示为对一个复杂的空间结构采用正弦扫频得到的某个测点的应变响应时域信号，幅值特别小，最大也不超过11个微应变。图8和9为相关应变测点的FRF曲线，从这些图中可以看出，应变的频响函数质量较差，即使使用了能量较大的正弦扫频激励。当然，如果结构是简单的梁、板结构，那么信噪比将会大大提高，如图10所示。但现实中的结构大多都是复杂的空间结构。
图7 空间复杂结构在正弦扫频激励下的应变时域信号
图8 空间复杂结构在正弦扫频激励下的应变频响函数（线性尺度）
图9 空间复杂结构在正弦扫频激励下的应变频响函数（分贝尺度）
图10 简单平板在锤击激励下的应变频响函数（线性尺度）
对于传统实验模态分析而言，获得模态参数必须要有高质量的频响函数，因此，频响函数的质量决定了后续模态分析的结果精度。从图8和9中可以看出，复杂结构的应变频响函数的质量会变差，这会影响模态参数提取的精度，特别是对阻尼的估计带来严重的误差。
表1是一个复杂的空间结构在使用加速度和应变作为响应下的频率和阻尼信息。在这，我们认为正弦扫频激励下的加速度响应获得的结果是正确的，将应变响应下的结果与之进行对比。从表1中可以看出，应变测量下的频率几乎与加速度测量相同，这些误差可以忽略。不管采用随机激励还是正弦扫频激励，频率误差都可以忽略不计。但是阻尼的误差却随着模态阶数的增大变得相当大，除第一阶模态之外，应变测量得到其他阶模态的阻尼可以说完全不正确，当然，正弦扫频获得的阻尼要比随机激励下的阻尼更可信，这是因为正弦扫频激励能量比随机激励更大。从这也可以看出，对于复杂结构，应变模态分析得到的阻尼可信度较差。
表1 对比加速度和应变模态结果
阶数
响应类型
加速度
应变
激励方式
正弦扫频
随机激励
正弦扫频
频率/Hz
46.825
46.801
46.305
阻尼/%
0.33
0.37
0.39
2
频率/Hz
96.013
96.468
96.70
阻尼/%
0.79
0.15
0.31
3
频率/Hz
97.854
97.779
阻尼/%
0.89
0.22
4
频率/Hz
115.903
115.904
115.93
阻尼/%
0.98
0.05
0.46
5
频率/Hz
121.41
121.362
120.843
阻尼/%
1.09
0.06
0.26
6
频率/Hz
160.336
159.154
158.985
阻尼/%
1.12
0.1
0.23
模态分析有两个步骤，第一步是估计极点，第二步是估计振型。极点包含了频率与阻尼的信息，而我们知道，频率与阻尼信息是结构的全局属性，但振型是局部属性。因此，从理论上讲，极点信息与传统测量是一样的，而应变模态振型则必须按照一定的原则才能获得。
传统模态试验中，可以将参考点固定，移动激励设备，如力锤，遍历所有的测点获得频响函数矩阵的一行或多行；也可以把响应传感器布满所有的测点，在固定位置激励结构获得频响函数矩阵的一列或多列。由于频响函数矩阵是对称的，所以，理论上讲，这两种测量方式是相同的。但对于应变模态而言，如果采用这两种测试方式进行测量，将得到完全不一样的结果，这是因为应变的频响函数矩阵不是对称的。
当一个或多个应变片作为模态参考点，移动激励设备遍历所有的测点时，可以得到SFRF矩阵的一行或多行，从上一小节中可以看出，这些行包含了所有测点的位移模态向量，但只包含这几个应变参考点的应变模态振型值（矩阵一行只包含同一个应变测量位置的应变模态振型值）。因此，采用这种方法只能得到位移模态振型，得不到应变模态振型。想要获得应变模态向量，必须获得SFRF矩阵中完整的一列或多列。也就是说应在固定位置进行激励，在所有测点上布置应变测点。同一列中包含各个不同测点的应变模态振型值，只包含激励位置的位移模态振型值。
图11是对一块钢板分别采用加速度传感器和应变片作为参考点，移动力锤激励所有测点时，获得的几阶位移模态振型。左侧为加速度传感器作为参考点获得的位移模态振型，右侧为应变片作为参考点获得的位移模态振型。由前面分析可知，当采用应变片作为模态参考点，移动力锤遍历所有测点时，只能得到应变频响函数矩阵的一行或多行，只能得到位移模态振型，因此，对比图11中同一行可以看出，采用应变片作为模态参考点获得的位移模态振型与加速度获得的位移模态振型几乎没有区别。
图11 加速度传感器（左）和应变片（右）作为参考点获得的位移模态振型
想获得应变模态振型必须在所有测点上粘贴应变片，激励在固定位置进行激励，获得应变频响函数矩阵的一列或多列。但此时，留数中还包含激励位置的位移振型值，要求解（或缩放）应变模态振型必须要知道激励位置的位移模态振型值。这时可利用上一小节中的应变模态与位移模态的关系进行求解。如果不使用二者的关系，则需要在激励位置额外布置一个加速度传感器，用于获得该位置的位移模态振型值。
在传统模态试验中，模态参考点的选择是至关重要的，要求避开关心的各阶模态的节点，当然是避开各节位移模态的节点。由于应变模态中既包含位移模态振型，又包含应变模态振型，因此，在选择应变模态的参考点时，既要避开位移模态的节点，又要避开应变模态的节点。而应变模态的节点是应力为零或变形为零的位置处，如自由端位置。故，应变模态的参考点时，要同时避开位移模态和应变模态的节点，不能选择结构的自由端位置或约束位置处。
04
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与传统模态的区别
模态分析的最终目的是获得结构的模态参数，在这一点上，传统模态与应变模态是相同的，但二者又有着本质的区别。传统模态分析通常使用加速度传感器作为响应传感器，获得位移模态振型；而应变模态采用应变片（或应变花）作为响应传感器，获得应变模态振型。因为响应传感器的不同，会导致两个模态分析试验差异巨大。
与应变模态试验相比，传统试验模态的准备工作更容易，这是因为加速度传感器安装比应变片安装省时省力：安装数十个加速度传感器都比粘贴一片应变片更快。因此，应变模态试验的准备、检查工作所耗费的时间与精力可能是传统模态试验准备工作的数十倍或者上百倍，这取决于应变测点的数量。
应变测量过程中还会遭遇多种常见的干扰与故障，如零漂、工频干扰、电磁干扰和桥路难以平衡等问题，这些问题无形给应变模态试验增加了难度。另一方面，通常结构的变形是非常小的，也就是说结构在受到激励之后的应变响应非常小，导致信噪比差，给后续的模态分析带来影响，特别是影响阻尼估计。
从测量方式上来讲，传统模态试验既可移动激励设备（如力锤），也可固定激励位置，但应变模态分析要求获得应变频响函数矩阵的一列或多列，这就决定了其测量方式只能选择固定激励位置，在所有测点上布置应变片。
应变的频响函数中不仅包含应变模态振型值，还包含位移模态振型值，这就使频响函数矩阵不对称，而传统模态实验的频响函数矩阵是对称的。由于应变频响函数中包含位移模态振型值，这就决定了在求解应变模态振型值时，必须首先要获得激励位置的位移模态振型值，或是知道位移模态向量与应变模态向量的关系。因此，应变模态振型的求解与位移模态求解的方法不同。
驱动点频响函数是传统模态分析中一个非常重要的数据，但应变模态通常较难以获得驱动点的应变频响函数，这是因为即使激励与响应是在同一位置，但应变片测量方向也不同于激励方向。
除了以上差异之外，应变模态与传统模态分析的最大差异来自于边界条件下的振型差异。在这以如图12所示的悬臂梁为例，说明二者的差异。图12所示的悬臂梁的自由端在各阶位移模态振型中的幅值是最大的，但是自由端应力为零，变形为零，而约束端在各阶位移模态振型中的幅值是最小的，但所受的应力最大，变形最大。也就是说，悬臂梁的自由端在位移模态中振型值最大，但在应变模态中振型值最小；约束端在位移模态中振型值最小，但在应变模态中振型值最大，如图13所示，二者刚好相反。这说明，应变模态的振型与我们常规的位移模态振型完全不一样，应变模态振型反映的是结构在不同位置的变形大小，或者说应力大小。我们知道，位移模态的振型是连续的，但应变模态振型可能存在不连续的情况，这是因为，如果结构某处的应力不连续，如受力有突变，则在此位置的应变模态振型则会发生跳跃，出现明显的连续。
图12 悬臂梁
第2阶
第3阶
位移模态
振型
应变模态振型
图13 悬臂梁的位移模态振型（上）和应变模态振型（下）
图13中的位移模态振型方向是振型实际的运动方向，但应变模态的方向却不是实际发生变形的方向。在对悬臂梁进行应变模态测量时，应变片测量的是沿梁的长度方向，变形也就是发生在梁的长度方向，因此，图13中给出的应变模态振型只是表征在各个测点位置处变形的相对大小，不表征梁的变形方向。
参考：
1. Strain-based experimental modal analysis: new concepts and practical aspects, F. L. M. dos Santos, ISMA 2016.