一、函数连续定义及等价描述
1、函数连续的三个要素
有定义、极限存在、极限值等于函数值.
2、函数连续定义的几种等价描述
3、函数连续证明思路与方法
(1)函数连续性的证明一般基于以上极限定义来证明. 证明函数在点x0连续只要能够验证以上等价描述其中一个成立即可.
(2)增量形式适用于抽象函数连续性的证明和区间上函数连续性的证明. 证明区间内任意一点函数连续，则只要将增量形式中的x0换成x则可以换成任意一点连续性的定义。
(3)分段函数的分界点，区间端点连续性的证明，分别用左连续与右连续的定义来证明. 即
4、关于函数连续的相关注意事项
(1)闭区间上的连续函数对于端点处仅仅是左端点右连续，右端点左连续，而不是连续！
(2)初等函数在定义区间内任意一点都连续，从而有函数的极限等于极限的函数. 即
(3)函数可以仅仅在定义域内一点连续 . 比如函数
仅仅在点x=0处连续，在其它点都间断.
(4)函数也可以在有理点处均不连续，无理点处均连续. 如黎曼函数
0,\left( {m,n} \right) = 1,m,n \in Z\\ 0,\;\;\;x \in R - Q \end{array} \right." data-formula-type="block-equation">
在有理点处均不连续，无理点处均连续 .
二、间断点及其类型
1、间断存在的情况
只有定义区间的分割点与定义域内(如分段函数的分界点)的点才有可能为间断点. 函数间断点的判定与连续性的三要素对应，满足如下三个之一即为间断点：
(1) 函数在x0处无定义；
(2) 函数在x0处有定义，但x→x0函数极限不存在；
(3) 函数在x0处有定义，x→x0函数极限存在，但极限值不等于函数值.
2、间断点的分类
依据左右极限的存在性，可将间断点分为两个大类，四个小类：
●第一类间断点：左右极限存在. 当左右极限相等，则为可去间断点；左右极限不等，则为跳跃间断点
●第二类间断点：左右极限至少有一个不存在；如果有一个极限趋于无穷大，则为无穷间断点；否则称为振荡间断点
3、函数间断点的判定
(1) 求函数的定义域，找出分割定义域为定义区间的分割点与分段函数的分界点xk；
(2) 对xk求函数的左右极限，由左右极限的存在性及相关的极限值与变化趋势，确定间断点及类型。
三、连续函数运算法则与初等函数连续性
● 基本初等函数在定义区间内连续
● 连续函数的四则运算的结果连续
● 连续函数的反函数连续
● 连续函数的复合函数连续
所以初等函数在定义区间内连续. 初等函数在定义域上不一定连续，比如有些函数的定义域为由一些离散点构成的集合，则可能在任意点都不连续.
四、有界闭区间上连续函数的性质
在探索求解问题的过程中，只要看到或者推导出“闭区间上连续函数”这样的描述，应该要在草稿纸上马上写下，或者脑海中马上能够浮出如下结论：
1、有界性定理
有界闭区间上连续的函数是有界的.
2、最值定理
有界闭区间上连续的函数是能够取到最大值与最小值的；在闭区间上至少存在一点使得函数取到最小值，也至少存在一点使得函数取到最大值
3、介值定理(中间值定理)
位于有界闭区间上连续函数最小值与最大值之间的任何值，在闭区间上至少存在一点使得函数值就等于该值
4、零值定理(零点定理)：如果闭区间两个端点的函数值异号，则在闭区间内至少存在一点使得函数值等于0
【注】注意最值、零值、介值定理不包含端点的描述.
5、均值的有界性
如果 ， 在 上连续， 是函数 在该区间上的最大值， 是函数 在该区间上的最小值，则
五、借助零点定理证明中值等式的基本思路
借助零点定理（介值定理）可以证明方程根的存在性，或者函数零点的存在性，常用方法：
1、直接法
先用最值定理，再用介值定理
2、间接法
先作辅助函数F(x)，验证F(x)满足零点定理，再由零点定理得出命题的证明. 其一般思路为：
(1)变换需要验证等式为简单形式；
(2)将所有项移到等式一侧，一般移到左侧，右侧为0；
(3)令左侧的中值符号为变量x，则令其为辅助函数F(x)；
(4)针对讨论的闭区间，或者依据已知条件构造合适的闭区间[a,b]，在闭区间上探讨F(x)的连续性和F(a)F(b)的符号；
(5)如果乘积等于0，则中值即为端点值，结论成立；如果乘积小于0，则区间内存在零点，结论成立.
(6)改写得到的辅助函数零值等式，得到需要验证结论.
其中前三步是关键，合适的辅助函数是成功证明的关键！如果依据构建的辅助函数不成功，则重复以上步骤，重新考虑辅助函数的构建！
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