巴塞尔的问题说起来很简单。然而，它却让数学专家们困惑了90年。28岁的物理学教授莱昂哈德·欧拉在1734年发表了一个解决方案，引起了人们的关注。
巴塞尔问题：正整数的平方的倒数和是多少？
- 方程1：巴塞尔问题
我们可以画出前10个部分和，似乎可以看出整数的平方的倒数和有一个收敛值。
- 图1：巴塞尔问题的前10个部分总和。
你认为我们在加上10个部分和之后会有什么结果？它能穿过红色虚线吗？这个级数的近亲是调和级数。我们已经在其他地方看到了这个系列不是收敛的。
- 方程2：调和级数
巴塞尔问题的每一个后续项都小于它对应的调和级数项。部分和总是小于调和级数的和。巴塞尔级数收敛的一个证明是将它与另一个我们很容易看到收敛的级数作比较。
由上图我们知道巴塞尔级数最多收敛于2。但它确切的收敛值是多少？这就是欧拉的天才之处！
sinx的麦克劳林展开
一种技术涉及到将一个非多项式函数转换为无穷级数。我们sin x的表达式开始:
从解
- sinx是一个无限多项式
我们要找出使这个表达式成立的系数。第一个系数很简单。我们设x = 0就能得出。
为了求下一个系数，我们再次对x求导，在x=0处取值。
每次求导，我们都会发现另一个系数。
- 根据导数对线进行编号。0阶导数是原始的未微分多项式。
偶数系数都是0。奇数系数交替符号。系数的形式是序数的阶乘的倒数。
这句话被总结为：
为了解决巴塞尔问题，我们只需要X^3系数：
威尔斯特拉斯分解
欧拉的下一个工具是怪诞分解。这项技术还有待严格的验证。然而，当欧拉将其应用于巴塞尔问题时，得到了令人兴奋的结果。
我们可以用它的零（根）和一个比例因子来定义一个多项式函数。例如，任何一个二次方程都可以写成：
在此，R_1和R_2是根。如果a为正，则抛物线将向上打开；如果为负，则向下。顶点的位置唯一确定。
我们对sin x做同样的处理：
因此：
如何乘以一个无穷积？我们需要确定常数a。
现在我们利用以下极限:
然后我们计算表达式的第二部分在x=0处的值。
我们把a的每一个因子分摊到sinx的因子中
把它展开，一次加一个因子。这会得到一个只有奇指数的多项式。我们想知道x的系数。
再加入第4个因子。
快做完了：
在我们发现自己被这些术语淹没之前，记住，我们只是在寻找X^3的系数。每次乘法，我们都加一项。你能看到下一个会是什么吗？
这是x的系数：
麦克劳林展开式的x^3系数为6。让我们让它们相等：
但欧拉不止于此。他为所有的偶数幂倒数建立了通解。你可以按照这里描述的程序来求倒数四次方的和。至于奇数倒数，这仍然是个谜，我们还在等待有人来破解这个难题。也许你会成为那个人。