“记住，数学是一门感性驱动的学科。说数学是理性驱动的那叫应试，那不叫数学，能不能理解？”每次在课前，朱浩楠老师总是会反复强调着这一句话，“真正的数学是你发现了一个无法解决的问题，你对它感兴趣，要解决它，为此你可能要下新的定义或推新的公式，这才叫数学，数学也是就此发展的。”
好奇心是个体遇到新奇事物下所产生的注意、操作、提问的心理倾向，是个体学习的内在动机之一，是个体寻求知识的动力。
回顾数学史，一个又一个理论正是在那一位位数学家寻求新奇知识的过程中建立并拓展的。
01 无理数的诞生
公元前 500 年，伟大的数学家毕达哥拉斯认为世界上只存在整数和分数，除此之外就没有任何其他的数。但是很快，一个新奇的问题出现了：当一个正方形的边长是 1 的时候，对角线的长 m 等于多少？是整数呢，还是分数？毕达哥拉斯和他的门徒费尽心思也不知道这个 究竟是什么数。世界上除了整数和分数以外还有没有别的数？
这个问题引起了学派成员希帕索斯(Hippasus)的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希帕索斯断言：m 既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数。就这样，无理数的雏形出现在了历史的舞台。
▲ Credit: Jeffrey Phillips
无理数的应用可不仅仅用于计算对角线的长度这么简单。如常见的无理数Π。Π是能精确计算圆的周长、面积，球的体积等几何形状的关键值。它现在可以被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能，特别是运算速度与计算过程的稳定性。这对计算机本身的改进至关重要。就在几年前，当Intel公司推出奔腾（Pentium）时，正是通过运行 π 的计算而找到它的一点小问题。这正是超高精度的 π 计算直到今天仍然有重要意义的原因之一。
02 三次方程的解
然而，就算有理数和无理数已经问世，还是无法解决一个问题 —— 代数方程的求解问题。像 x+1=0 这样最简单的二次方程，就算代入所有的无理数和有理数，原方程还是没有解。
12 世纪的印度数学家婆什伽罗认为这个方程是没有解的。因为正数的平方一定是正数，负数的平方也一定是正数，因此，一个正数的平方根有一个正数和一个负数，而负数没有平方根，所以这个方程没有解。这等于不承认方程的负数平方根的存在。
1545 年意大利米兰的卡尔达诺发表了文艺复兴时期最重要的一部代数学著作，提出了一种求解一般三次方程的求解公式。形如： x+ax+b=0 的三次方程解如下：
03 卡尔达诺的遗憾
当卡尔达诺试图用该公式解方程 x-15x-4=0 时他的解是：
在那个年代负数本身就是令人怀疑的，负数的平方根就更加荒谬了。因此卡尔达诺的公式给出 x=(2+j)+(2-j)=4，易证。并把(-121)^(1/2) 数记为 "1545R15-15m"，这便是最早的虚数记号。
但遗憾的是，他认为这仅仅是个形式表示而已，并不关心 (-121)^1/2 出现的背后原因，认为其只是“不可捉摸而无用的东西”，因而错失了对虚数进行进一步探索的大好机会。
结果直到 19 世纪初，高斯系统地使用了 i 这个符号，并主张用数对(a、b)来表示 a+bi，称为复数，并推广了复平面的概念——在直角坐标系里，点 z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+bi 可用点 Z(a,b)来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴除去原点的部分称为虚轴。
这给予其几何意义，使复数有了立足之地，虚数才逐步得以通行，建立了复变函数(以复数作为自变量和因变量的函数)的广泛理论。
▲ 与其共轭 在复平面中的几何表示。从原点到点 z 的箭头是 z 的模长或绝对值。角 是 z 的辐角
如果错失了虚数，这对于数学史的发展影响巨大。第一个层面是对于数学本身的影响。如果不引入虚数的概念后，数学就会仍存在一些逻辑上可能的漏洞。
比如说，在实数的范围内，x+1=0 是无解的，这样一来，有的多项式方程有解，有的无解，数学就不完美了。引入一个虚拟的概念，虚数 i，就让所有的方程都变得有解了。更完美的是，引入虚数的概念后，所有的一元 n 次方程都会有 n 个解，没有例外。
第二个层面是影响数学复杂问题的解法。虚数作为数学工具最大的用途可能是便于将直角坐标变成极坐标。极坐标是指在平面内取一个定点 O，叫极点，引一条射线 Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点 M，用 ρ 表示线段 OM 的长度，θ 表示从 Ox 到 OM 的角度，ρ 叫做点 M 的极径，θ 叫做点 M 的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点 M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
▲ 极坐标下 r=|sinkθ| 图像
一般来讲，在飞行、航海等场景里，极坐标更方便使用。比如我们说往两点钟的方向飞行 20 公里，这就是极坐标的描述方式。在极坐标的计算中，如果只用实数，非常复杂，如果引入虚数，就极为简单。
结语
所以，总览数学的发展历程，对科学规律的“感性驱动”对于科学的基础研究是必不可缺的。因此，时常对科学研究与发现保持一颗热枕的心，无论对于埋头研究的科学家，或是寒窗苦读的我们都能在对科学的学习探索中学有所成。
本文作者：北京市十一学校数学建模协会张健宸、宋敏正同学，[遇见] 授权转发并略有调整。更多【Mathburger】文章请见十一学校建模协会账号。