物理学史上最糟糕的理论预测——暗能量,通过计算说明

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量子场论(QFT)是粒子物理学标准模型的框架。特别是,量子电动力学(QED)以前所未的精确度预测了物理量的值。

然而,量子场论也因其分歧而闻名。也许,最重要的一个是真空能量密度(将会在以后的文章中详细讨论)。每个量子场都有一个相应发散的零点能量。把所有的模态加起来,就会得到一个巨大的真空能量密度值。

图1:费曼图表示量子场论分歧的例子。在第一种情况下,一个光子产生一个虚拟的电子-正电子对,然后湮灭(真空极化)。在第二种情况下,电子发射并重新吸收一个虚光子。

然而,由广义相对论预测和实验观察到的真空能量是非常小的。两种估值的差异可能高达120个数量级。

宇宙常数问题(也称为真空灾变)是现代物理学中最重要的未解决的问题之一,正是在真空能量密度的实验测量值和理论零点能量之间存在这样的差异。

当考虑到重力时,这样的能量密度会导致严重的困难,因为在广义相对论中,任何形式的物质或能量都必须加入到真空能量中(在其他场的情况下,真空能量可以被减去,这将在后面讨论)。

爱因斯坦引力理论的概述

在1915年到1916年之间,爱因斯坦总结了他的广义相对论的公式。他的重力场方程表明,时空区域的扭曲是由附近物质和辐射的能量和动量产生的。

图2:由于太阳的存在引起的时空扭曲。

用张量G, R, T表示,方程为:

方程1:爱因斯坦场方程与爱因斯坦张量G,里奇曲率张量R,标量曲率R (R的迹)。

里奇曲率张量R测量了时空的几何性质(局部)与欧几里得空间不同的程度。

图3:流形(在本例中为正曲率)的几何性质(在此图中为两点之间的距离)与欧氏空间的几何性质有何不同。

方程1中的张量g为张量g,其形式为:

度规

方程2:度规张量g。

对应的线元(表示无穷小位移)可表示为:

方程3:对应于张量g的线元。

图4:三维欧几里得空间中的矢量线元dr(绿色)。dr的大小的平方等于线元。

右边的张量T是能量动量张量。它包含了使时空变形的物质和能量的信息。

式4:能量动量张量T的分量。

宇宙学的全息图!

1917年,在他的广义相对论发表一年之后,爱因斯坦在他的开创性论文《广义相对论的宇宙学考虑》中将其应用于整个宇宙(当时认为只有银河系)。这篇论文标志着现代宇宙学的诞生。

在本文中,爱因斯坦假设宇宙是静态的,并且有一个封闭的空间几何图形(一个三维球体,它是有限的但没有边界的)。然而,他的理论并没有承认静态解,他有介绍一个新的术语——宇宙常数Λ。

方程5:爱因斯坦场方程的包含宇宙常数Λ。

这个已知的宇宙是爱因斯坦静态的宇宙。

图5:爱因斯坦和他1917年的论文,他将广义相对论应用于整个宇宙。

能够在方程1中包含依赖于g的这一项,原因如下。G和T的协变导数都为零:

式6:G和T的协变导数都为零。

因为度规张量也有这个性质

方程7:度规张量的协变导数为零。

引入这一项不会破坏方程的一致性。在弱场极限(或牛顿极限)下,我们得到:

方程8:通过牛顿极限我们看到宇宙常数Λ为引力斥力,与距离r呈线性关系。

膨胀的宇宙

然而,在1929年,美国天文学家埃德温·哈勃发现:

一些被认为是尘埃云和气体云的物体实际上是银河系以外的星系。

星系后退的速度取决于它们与地球的距离(所谓的“哈勃定律”)。

他的发现与比利时数学家和天文学家乔治·勒梅特尔之前的研究一起得出结论,宇宙正在膨胀。

图6:如何计算哈勃常数。

因此,宇宙的膨胀意味着没有必要引入宇宙常数,正如爱因斯坦所想的那样。在与乌克兰出生的物理学家和宇宙学家乔治·伽莫夫的一次谈话中,他说引入宇宙学术语是他一生中犯下的最大错误。

图7:埃德温·哈勃和乔治·勒梅特,他们的研究证明了宇宙正在膨胀。

宇宙常数的另一种观点

然而,今天,人们以一种全新的方式来看待宇宙常数。事实上,它的存在导致了以下惊人的实验结果:我们的宇宙不仅在膨胀,而且在加速膨胀。扩展的各个阶段如下图所示。当远离观测者的遥远星系的速度随着时间的增加而增加时,就会发生加速膨胀。

图8:宇宙的加速膨胀。

弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃克度量

如果考虑非常大的区域,宇宙的几何近似是均匀的和各向同性的。

图9:IDCS J1426星系团的质量约为500万亿个太阳。

下图说明了各向同性和均匀性的概念:

图10:各向同性和均匀性的概念。

基于这些假设,我们可以得到爱因斯坦场方程的解,具有常曲率的宇宙,即所谓的弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃克宇宙。它们的空间部分可以用不同的方式书写。

一种可能的书写方式是:

方程9:一种可能的方法来写空间部分的FRW度量。

其中函数a(t)为宇宙尺度因子,与宇宙的大小有关。参数k指定了FLRW度量的形状。k的三个可能值是+1,0或1,并且分别与具有正、零和负曲率的宇宙有关。

图11:方程9中k的三个可能值分别为+1、0或-1,并分别与曲率为正、零和负的宇宙有关。

介绍球坐标:

方程10:无量纲径向曲率球坐标。

图12:球坐标

并定义坐标:

方程11:用通常的r表示的参数r,该参数由其上的~标识。

其中~标识通常的径向变量FLRW度量,加入时间元素变成:

方程12:写FLRW线元的更方便的方法

重要的是要理解,时空中的点和时空坐标是两个不同的概念。坐标是分配给点的标签,因此他们的选择不会改变物理定律。坐标r,θ,被称为共动坐标。随着宇宙尺度因子a(t)的增大,点与点之间的距离也增大,但平移坐标系中的距离不增大。

图13:图中宇宙尺度因子R(t)对应于函数a(t)。

假设在大尺度上具有各向同性和均匀性,能量-动量张量T就成为“完美流体”的能量-动量张量。

方程式13:完美流体的能量-动量张量。

其中r是质能密度,p是静水压力

完美流体的定义:

其主要特征是静止框架的质量、密度和各向同性的压力。

没有剪切应力,粘性,或热传导。

图14:一个完美的流体流过一个无限长的圆筒。

例如,考虑T在静止坐标系中:

方程14:完美流体在其静止坐标系中的能量-动量张量。

用这种更简单的方法,我们可以只用两个量来描述密度ρ 和压强p:

注意,两者都只取决于宇宙尺度因子a(t)。爱因斯坦场方程变成了著名的比例因子弗里德曼方程:

方程15:当能量-动量张量是各向同性和均质的时候,弗里德曼方程是EFE。

图15:1922年前后,俄罗斯物理学家亚历山大·弗里德曼。

第三个重要的方程是状态方程,即FLRW宇宙中方程6右边的方程:

方程16:FLRW宇宙的状态方程。

现在,下面讨论一些未知物质,它们的状态方程很特殊,具有负压:

方程17:正的真空能量导致的宇宙常数意味着压力p<0。负压驱动宇宙加速膨胀。

在这种情况下,张量T变成:

方程18:由于T只取决于时空的几何性质,它是真空本身的一种性质,平流被称为真空能量或空间的能量密度。

它与坐标的选择无关。注意,T只取决于时空的几何,因此它是真空本身的一种性质。

现在比较一下方程5和19。新项和g项有相同的形式。我们可以这样写:

方程19:真空能量或空间的能量密度。

因此,宇宙常数的存在等价于真空能量密度的存在:

方程20:引入宇宙常数等价于真空能量密度的存在。

爱因斯坦场方程变成:

方程21:包含真空能量张量的修正EFE。

对式16进行求解,得到:

方程22:真空能量的能量密度是恒定的,因此,它最终成为主导物质和能量密度。

宇宙学观测为:

方程23:能量密度来自宇宙观测

Lambda-CDM模型

根据Lambda-CDM模型,加速膨胀开始于宇宙进入暗能量主导的时代。

图16:宇宙总能量的估计划分为物质、暗物质和暗能量(源)。

正如前面所解释的那样,加速度由宇宙常数是正的来解释。后者相当于存在一种能量形式,称为暗能量。目前在宇宙学标准模型中使用的描述主要包括暗能量和假设暗物质的存在。

图17:根据暗能量的性质,物理学家认为宇宙的三种可能结局。

然而,正如卡罗尔所指出的,广义相对论有以下特点:在非引力物理中,只有能量的差异是相关的来描述物体的运动,在广义相对论中,能量的本身的值必须是已知的。这立刻引出了一个问题:如果能量的零点是空态的能量,那么真空能量是多少?物理学中最重要的未解决问题之一是如何回答这个问题。

量子场论中真空能量的计算

利用量子场论可以计算出任意量子场的量子力学真空能。这一计算结果可能比通过宇宙学观测得到的上限高120个数量级。相信存在某种机制使Λ非常小但非零。

让我们计算一下存在于整个宇宙的所谓真空的量子能量。

图18:根据海森堡测不准原理,波动虚粒子进入和消失,因此在短时间内违反能量守恒。

为了避免不必要的复杂性,我将考虑一个真实的无质量标量场的场,由函数φ(x,t)表示。在这种情况下,经典的哈密顿函数是:

方程24:经典实无质量标量场的自由哈密顿量。

现在将经典场量化。对量子真空态取期望值,得到真空能:

方程25:真空的能量。

用创造和湮灭算符来表示场并执行简单的代数操作,我们得到真空期望值的下列表达式。

方程26:真空的能量。

方程26中的第二项表明真空期望值(VEV)是无限的。正如卡罗尔所指出的,无限值并不是一个可能无限大的空间的结果,它是我们进行积分的高频模态的结果。如果我们限制积分使用一些截止,我们得到:

方程27:真空丢弃模的能量具有很高的频率

如果QFT对象普朗克能量一样大的能量有效,我们得到:

方程28

用方程28除以方程23,我们得到著名的因子120。

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