泰勒级数经典之作：有关泰勒级数前几项的几何原理

泰勒级数大家应该都很熟悉了，如下所示，它可以计算任意函数f(x)所有阶导数在a处的值

如下就是e^x在0附近时的无穷级数形式，它是最简单的也是最有用的级数之一，它的导数就是其本身

我们现在用几何原理来解释泰勒级数的前几项，这是非常有趣的，可以很好地拓展我们的数学视野

用到的基础数学知识就是微积分基本定理，如下是任意函数f(x)曲线下的面积，它可以用牛顿-莱布尼兹公式得到

所以面积函数的导数就是函数本身f(x)，我们在图中取一小段dx，黄色部分的面积近似等于dx乘以函数在该处的高度

我们为了得到更精确的结果，就需要考虑红色近似三角形的面积，我们取如下的增量(x-a)，三角形的底就是(x-a)，高为：斜率X*底(x-a)

我们将高换成导数的形式：H=面积f(x)在a点的二阶导数，如下图所示

所以黄色三角形的面积就是：底X高X1/2，如下图所示

这就和泰勒级数或麦克劳林级数的二次项一样了，

我们已经知道了点a附件的导数信息，所以面积f(X)=黄色矩形面积 近似三角形面积 蓝色区域面积，黄色矩形的面积是关于一阶导数

所以就得到泰勒级数二次项以下各项的几何原理

备注：思路和图片取自3blue1brown，大家有兴趣可以去学习下完整的视频。