本文的篇幅可能会有点长，还请有兴趣的朋友们能耐心看完，应该对你们圆锥曲线的解题会有帮助
一，曲线系的定义（包含了直线系）
定义具有某种共同性质的所有曲线的集合，称为一个曲线系，并用含有参数的方程来示。
由曲线系的定义可知，曲线系并不是一条曲线，而是有共同性质的多条曲线的集合,而这些共同的性质在高中阶段常见的就是过几个定点或交点
二，常见的曲线系
1,直线系
①过定点 的直线系可写为
②过直线 与 交点的直线系为
PS:设两个参数是避免漏掉 当题目确定所求直线不是时就可设一个参数即
③与直线 平行的直线系为
④与直线 垂直的直线系为
⑤到定点 的距离为定值 的直线系为
PS：这也是圆的切线系方程
⑥到坐标轴截距之和为定值 的直线系为
2,二次曲线系
二次曲线的一般形式为 在高中会涉及的有圆，椭圆，双曲线，抛物线
退化的二次曲线：两条直线可认为是退化的二次曲线
两条直线
则方程 表示这两条直线，展开后为二次方程
PS：过五点有且仅有一条二次曲线，当其中有三点共线时，则经过这五点的二次曲线为退化的二次曲线
①椭圆共焦点的曲线系
双曲线共焦点的曲线系
②同离心率的圆锥曲线的曲线系
③过两条二次曲线 与 交点的曲线系方程为
当确定所求曲线不是 或 时可设一个参数即
④三角形三边的方程为
则过三角形三个顶点的曲线系为
⑤四边形四条边的方程为
则过四边形四个顶点的曲线系为
⑥过两直线 与二次曲线 交点的曲线系为
当所求曲线不包括 时可设一个参数；当两直线与曲线只有三个交点时(即两直线的交点在曲线上)也成立
因为曲线系是有共同特征的曲线的集合，且是通过参数来调整的，所以当参数确定是曲线也是确定的，解题是通常是先写出过某些点或交点的曲线系，然后再找出另一条有这个性质的二次曲线(包括退化的二次曲线)然后令两者相等，对比系数得出系数之间的关系，下面会列举一些例题
1定点问题
例:已知椭圆 左右顶点为 ,点 为直线 上一动点，直线 交椭圆于 两点，证明直线 过一定点
解:设点 ,直线
则直线 斜率为 直线 即 同理
过 四点的曲线系方程为
直线 与直线 也经过 四点
令
展开后对比 系数可得 对比 系数得
则直线 方程 即
故直线 过定点
2定值问题
例:已知椭圆 的左右顶点为 ，过焦点的直线与椭圆交于 两点，与 轴交于点 ，直线 与直线 交于点 ，当点 异于 两点时，证明: 为定值.
解:设 , ,
则 联立 得
则
(下面就通过曲线系来得出 与 的关系)
过 四点的曲线系为
直线 ,直线 组成的曲线也经过 四点
令
展开对比 系数得 对比 系数得
联立得
则
(在 前引入参数 是因为要得出 与参数 的关系，或者将 放在 前，在 不引入参数也可以)
3,四点共圆
圆锥曲线上 四点共圆的充要条件是
证明(以椭圆为例，其他同理，其实有很多证法但曲线系是我认为比较简便的一种)
设: ,
过四点的曲线系方程为
项的系数为 若要使其为圆则 项系数必为
则 同时可使得 与 的系数相等充要性得证
例:已知 为坐标原点， 为椭圆 在 轴正半轴上的焦点，过且斜率为 的直线与椭圆交于 两点，点 满足
(1)证明:点 在椭圆上(2)设点 关于点 的对称点为 ，证明 四点共圆，并求出圆的方程
解(1)设 , 联立直线 与椭圆得
则 ,
又 则 ，
故点 在椭圆上
(2)由题意得 ,直线 过 四点的曲线系方程为
展开得 项系数为0， 项系数为 ， 系数为
要使其为圆这 与 系数应相等，解得
此时
展开整理得
故 在以 为圆心， 为半径的圆上
总结:运用曲线系方程解题，首先是写出某种性质的曲线系，在再找出有相同性质的曲线，然后合理引用参数构造等式(等式中有两个参数会比较好，因为有时只引入一个参数会得出错解)，最后对比系数得出所求量之间的关系.
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