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调和级数（英语：Harmonic series）是一个发散的 无穷级数 。它 是级数中一种确定的，重要的级数。在解题中，调和级数作为一把“ 尺子 ”，在判别另外一个级数发散起着重要作用。关于调和级数的发散性，早在14世纪，尼克尔·奥里斯姆就已经证明了，但知道的人不多。17世纪时，皮耶特罗·曼戈里、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部证明工作。本文共整理了21种关于调和级数发散证明的思路与方法，阅读时注意了解、掌握其中涉及的思想、方法、结论.
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有趣应用问题实例：
问题是这样，现在要乘吉普车穿越沙漠，但中途并没有燃料补给，也不能在车里携带足以穿越沙漠的燃料。 目前你没有时间建立中途的补给站，但好消息是，手头有的是吉普车。 现在的问题是，如何使用最少的燃料穿越沙漠？ 我们以一辆吉普车能行驶一箱油的距离所耗油量作计量单位。 如果两辆吉普车一起出发，则先一起走 1/3 箱油的距离，然后吉普车 B 将 1/3 箱油倒给吉普车 A，然后用剩下的 1/3 箱油返回原点。 此时，吉普车 A 行驶距离合计为 1+1/3 箱油。 如果三辆吉普车出发，则先一起走 1/5 箱油的距离，然后吉普车 C 分别给吉普车 A 和吉普车 B 倒入 1/5 箱油，此时吉普车 C 剩下 2/5 箱油，但吉普车 A,B 的油箱是满的，这就跟上一种情况相同。 当吉普车 B 返回到吉普车 C 所在处时，吉普车 B 已经没油了，但他们有足够的油一起回到原处。 此时，吉普车 A 行驶距离合计为 1+1/3+1/5 箱油。
同样地推理，四辆吉普车，可以行驶的最长距离为 1+1/3+1/5+1/7 箱油的距离，则只需 n 辆吉普车你就能穿越沙漠，沙漠的距离计为
在这里，我们有一个新的级数，它也是调和级数(每一项都是等差级数的倒数)，当然也发散的
事实上，这个级数的收敛性 表明，通过使用这样转移油料大法，只要你有足够多的吉普车就可以穿过无穷大的沙漠！
参考文献：
[1] 同济大学. 高等数学（第七版）[M]. 高等教育出版社，2014
[2] 乐春红.关于调和级数的发散性的几种简单证明[J]. 楚雄师范学院学报，2009，24(12)：34-37
[3] 张军学. 关于调和级数发散性的几种证明方法[J]. 西安教育学院学报，2001，16(3)：31-32
[4] 李合新. 关于调和级数发散性的几种途径[J]. 工科数学，1991，7(3)：156-159
[5] 百度百科.调和级数与欧拉常数
[6] 调和级数的多种证明[OL]:https:// wenku.baidu. com/ view/ c1ba3b3643323968011 c9251.html
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