最古老的数学问题
在数学史上，一个最古老也最自然的问题是：求解一元多项式的根。二次多项式的根可以很容易地写成，我们每个人在中学都见过其系数的根号表达式。二次多项式的解最早可以追溯到古巴比伦时期，而三次和四次多项式的情形直到16世纪才被解决。求解五次及以上的多项式的情形则复杂得多，几百年间有无数人试图解决它，然而得到的结果都被证明有错误。在那个年代这一问题看来似乎遥不可及，甚至连高斯都不相信它能被解答，以至于当他收到阿贝尔宣称证明存在五次多项式不可解的信时将其弃之一旁，只留下一句这又是那种怪物的评论。
阿贝尔的工作揭示了高次方程与低次方程的根本不同，寻找一般的系数根号表达式的解的努力成为幻影，然而仍然存在一些特殊的高次多项式能够用根式求解，如何区分能够求解的和不能求解的多项式仍然是一个未决的问题。直到伽罗瓦的出现，才给出了这一问题的完全解答，彻底地解决了这一有着数千年历史的难题。
然而，伽罗瓦的贡献远远超过了这一问题本身，他为了解决它所发展出来的方法要远比问题本身更重要。历史上许多曾经盛行一时的理论和思想都渐渐淹没在历史的尘埃中被人遗忘，而那些大浪淘沙留下的东西却往往历久弥新，在今天依然闪闪发光。现在我们称之为伽罗瓦理论的方法是数学发展的一个里程碑，它的意义和影响在其之后的历史中不断深化，指引我们走向某些最深刻的东西。
不安分的数学天才
伽罗瓦于1811年生于法国，他很早就显现出了数学天赋，同时还有他不安分的性格。传闻他曾在大学入学面试中将黑板擦扔向考官，只因为无法忍受对方的理解缓慢。他在政治上也十分活跃，并曾被赶出学校甚至被捕入狱。
伽罗瓦在18岁时便发现了后来以他名字命名的理论，并解决了多项式是否可解的问题，然而他的论文因为太过超前未被当时人们理解并被拒绝发表。他于20岁时便死于一场传闻是与情敌间的决斗。在决斗的前夜，他似乎就预感到了自己的死亡，因此他将他的数学思想连夜写下来寄给了一位朋友，而这些思想在他死后几十年才渐渐地被人们吸收。
抽象代数
他的工作中引入了现代数学中极为重要的群和域的概念，这是抽象代数的萌芽。伽罗瓦的革命性在于其洞察到了多项式的解的对称性可以由多项式本身观察到而不必求解，而这一对称性本身完全决定了其解是否存在根号表达式。为了描述对称性，他引进了群的想法，这一基本的想法将我们的思维引入了更高的维度，在复杂而模糊不清又转瞬即逝的现象中看见了永恒的背影，带给我们一旦抓住就不会忘记的洞察力。
用现代的观点来看，域是我们能做加减乘除的代数对象，一个多项式的解给出了一个域。研究多项式的解即可以看成研究尤其对应的域，这一抽象化引进了我们熟悉的关于有理数加减乘除的直觉，然而表面上它是一个比多项式的解更复杂的对象，很难想象怎么在不求解多项式的情形下研究其对应的域本身。
伽罗瓦的天才在于做一个更深层次的抽象化，考虑从域到它本身的所有保持加法和乘法运算的映射，这一抽象的抽象看起来仿佛空中楼阁，然而正是在这里，伽罗瓦看见了真正的深刻，仿佛云端天堂的影子，那就是群的概念。这一更抽象的对象并不是一个无法理解的怪物，相反它有着最好的结构，最完美的对称，它是一个群，我们称之为伽罗瓦群。将其置于群论的框架下，我们立即就有了对其结构的洞见。它作为群，完美地描述了多项式的解的对称性，一个多项式可解如果它的伽罗瓦群有一种非常特殊的群论性质，我们称之为可解群。
伽罗瓦理论的一个奇迹在于尽管多项式的解通常无法计算，从解出发经过抽象再抽象得到的伽罗瓦群确是可以直接从多项式计算的，从而原则上我们可以去判定一个给定的多项式能否求解，层层抽象并没有把我们带向空中，反而将我们引向地面。这种抽象的思考方式深刻地影响了现代数学，代数方法的核心哲学即在于寻找合适的体系框架去描述对象最深层次的本质内涵，从而建立起连接表面极为不同的对象之间的桥梁，使得我们关于不同领域的直觉可以相互借鉴。这一抽象方法经过几代最杰出的学者尤其是格罗滕迪克（详见：《云端的背影》）的发展在今天已经蔚为壮观，解决了一些最困难的问题，揭示出了一些最深刻的方向，渗透进了许多不同领域。从某种意义上说，伽罗瓦最伟大的遗产在于提供了一种根本性的新视角。
影响深远
伽罗瓦的思想对于现代数学的影响是巨大的，仅仅是引进群的概念已经足以永载史册，然而其影响远不止此。其关于对称性的强调将群论推向了数学舞台的中心，今天的数学和物理已经无法想象没有群论的日子，比如规范场论即是用某些特殊的被称为李群的群去描述物理上的对称性。
一个很神秘的联系在于伽罗瓦理论和拓扑学的关系，伽罗瓦群和拓扑中的基本群有着惊人的相似性，格罗滕迪克的etale基本群理论给出了一个初步的统一框架，为了更深一步理解它们的拓扑本质，格罗滕迪克提出了今天仍然神秘的Motive理论，伽罗瓦的理论在这里可以看作是零维的特殊情况。另一个不同的角度在于伽罗瓦群即基本群完全决定了一类特殊的几何对象，这是格罗滕迪克提出的anabelian理论，近年望月新一提出的新理论并宣称证明abc猜想（详见：《被雪藏五年的abc猜想论文将发表？》）即为这一方向的工作。算术和拓扑的交融是一个现代数学中非常深刻又神秘的现象，而伽罗瓦群在其中扮演着枢纽的角色。
在算术尤其是代数数论中，伽罗瓦群是最核心的对象，它与表示论的融合则是另一个现代数学的宏伟建筑朗兰兹纲领的梦想，其与上面提到的Motive理论也是有机结合在一起的，它们共同构成了现代我们称之为算术几何的领域中的一个壮阔的纲领蓝图。
这仅仅是伽罗瓦理论的现代演化的一部分，也许是最激动人心的一部分。某种意义上，数学中最深刻的与最迷人的部分在于它永恒的生命力，不断深化的理解与不懈的追求没有将我们引向狭隘的终点，却是更广阔的天地。
扩展阅读：《数学中未解决的问题》