试题研究与改编
菱形背景下的旋转与轴对称
临近中考，在给学生讲几何综合题的过程中，发现不少优秀的试题，解完练完讲完之后，意犹未尽，尝试深入理解命题者意图，并结合自已的教学，对题目进行改编，是几何命题的必经之路。
要达到完全原创一道优秀的几何综合题，是很难的一件事，有时自已想了半天的点子，却发现网上早已有人想到了，所谓再快也有比你更快的，诚不欺我也。
本题原型是2024年朝阳区一模第27题，图形简洁，解法众多，难度中等，在原型基础上，进行了适当的拓展，限于本人水平，不敢说锦上添花，只要不是画蛇添足就好。
原题呈现
如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是CD上一点（不与C，D重合），将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF，连接DF，连接BF交AC于点G.
（1）依据题意，补全图形；
（2）求证：GB=GF；
（3）用等式表示线段BC，CE，BG之间的数量关系.
解析：
0 1
(1)作图如下：
0 2
(2)多数学生很容易发现其中的一对全等三角形，△ACE≌△ADF，然后便不知所措了，我们不妨观察这对全等三角形到底能起什么作用？除了对应边、对应角相等，还需要更进一步思考它们带来的更多位置关系和数量关系。
方法一：
由于菱形中含120°角，所以对角线AC能将菱形成成两个等边三角形，于是由∠ACE=∠ADF=60°，再结合∠CAD=60°，得DF∥AC，联想到菱形对角线互相垂直，不妨连接BD，则可得DF⊥BD，如下图：
因此在Rt△BDF中，由于AC是菱形的对称轴，所以BG=DG，所以∠GBD=∠GDB，而∠GDB+∠GDF=90°，∠GBD+∠GFD=90°，所以∠GDF=∠GFD，即DG=FG，我们得到了斜边上的中线DG，等量关系建立起来了，最后得到GB=GF.
方法二：
过点D作DH∥BF，如下图：
仍然由△ACE≌△ADF，得∠ACE=∠ADF=60°，而∠CAD=60°，因此∠CAD=∠ADF，所以AC∥DF，于是得到平行四边形DFGH，所以DH=FG，再证明一次全等，△ABG≌△CDH，所以BG=DH=FG.
0 3
(3)在前面方法一中，我们已经得到Rt△BDF，如下图：
△BCD是含120°等腰三角形，于是BD=√3BC，CE=DF，BF
=2BG，所以由勾股定理得BD²+DF²=BF²，所以3BC²+CE²=4BG².
解题反思
本题第二问还有更多解法，围绕菱形性质，结合轴对称和旋转变换的方式很多，不再一一一列举。
在完成第三问的解答之后，感觉意犹未尽，应该还能就原题条件挖掘更多结论出来，于是便有了以下拓展：
(4)当DF=AG时，求tan∠CAE的值.
我们不妨恢复原来的辅助线，连接BD，我们依然可以证明OG是△BDF的中位线，所以设OG=t，则DF=2t，所以AG=2t，OA=3t，因此AC=6t，我们再过点E作AC的垂线，构造出求三角函数所需的直角三角形△AEH，如下图：
其中CE=DF=2t，Rt△CEH是特殊直角三角形，可求出CH=t，EH=√3t，然后AH=AC-CH=5t，最后求出tan∠CAE=√3/5.
本题中的菱形，是特殊菱形，教材中对菱形的对称性有如下描述：
所以当菱形中出现一个120°角的时候，整个菱形立刻可以被对角线分成等边三角形，特殊等腰三角形，特殊直角三角形，而它们之间的边角关系几乎全部可以相互关联，所以造成第2问的解法非常多，在推导过程中，尽量多利用轴对称，比起用全等更方便。
第1问只需要作图，第2问则需要去探索边角关系中最特殊的一种，第3问其实是在第2问基础上，进一步探究更多数量关系，第4问则是在特定条件下，求特殊比值。
由特殊到一般，再由一般回归到特殊。