台球是一项常见的运动。数十年来，一种“理想化的台球游戏”一直吸引着数学家。在一项新发表于《物理评论快报》的研究中，来自阿姆斯特丹大学的一组物理学家通过在这种“理想化的台球游戏”中新加入一条简单的规则，描述了一个“有空间记忆的台球”的动态系统。
理想化的台球游戏
“理想化的台球游戏”很简单，它假设的是有一颗完美的台球，在一张完美的球台上运动。所谓“完美”，指的是当这颗台球被击中时，在球台上的运动是零摩擦的，而当它撞击到球台的边缘时，也可以完美回弹，且球台上没有其他物体……在这样的场景之下，台球不会终结于球台的任何位置，而是会一直运动下去。
那么问题来了：它能回到起始位置吗？它最终能走遍球台的每个部分吗？当台球的方向或起始位置发生轻微改变时，它所经过的路径会与之前的路径相像吗？
这些都是数学家所感兴趣的问题。他们已经知道其中一些情况的答案。例如，在一个内角小于100度的三角形球台上，总会出现周期性的路径，也就是说被击出的台球总能沿着路径返回到起始点。
但是，如果把三角形的一个角的角度变得更大一些，情况就变得扑朔迷离。此外，当球台的形状不再是简单多边形（如三角形、正方形、长方形）时，这些问题的答案同样变得未知。
混沌系统
这些问题不仅引发了数学家的兴趣，也对物理学和其他科学产生了深远的影响。因为许多相关的问题，都可以转化为混沌系统的问题。混沌系统比比皆是，天气的演变、流体的混合，都属于混沌系统的范畴。在混沌系统中，初始条件上哪怕出现最微小的变化，都可能导致结果发生剧烈变化。
在新的研究中，研究人员意识到，通过稍微改变“理想化的台球游戏”的规则，就可以进一步提升这个问题在现实世界中的应用。
在自然界中，许多生物体都有一种外部形式的记忆。例如，它们通过留下痕迹来记住它们去过哪里。然后，在寻找食物时，如蚂蚁、黏菌等动物都会通过在环境中留下化学痕迹，来标记它们曾去过哪里。这些信息有助于它们要么沿着相同的路径返回，要么帮助它们避免走回头路。
这种行为在生物学中并不罕见。但当物理学家在这项新的研究中将其作为一个简单的数学问题进行建模时，发现了意想不到的复杂性和混沌。
一个简单的新规则
在新的研究中，他们在“理想化的数学台球”框架下赋予了台球“空间记忆”，让台球永远不会经过自己先前曾走过的路径。换言之，如果一颗台球抵达了一个之前到达过的点，它就会像撞向了一堵墙一样被反射出去。
随着台球在球台上的移动（红线），它逐渐“切断”越来越多的区域，留下一个越来越小的可以穿行的区域（蓝色）。最终，球被困在一个点上。（图/Physical Review Letters (2024). DOI: 10.1103/PhysRevLett.132.157101）
在这种新的规则下，台球会如何运动？
研究人员推导出了描述台球运动的方程，然后在计算机上模拟了台球的运动。结果发现，球台的有效大小会变得越来越小，台球最终会被自己的轨迹所困住。
他们进行了超过2亿次模拟，观察了台球在不同的多边形（如三角形、六边形）球台的运动路径，每次台球的开始位置和速度都略有不同，最终得到了美丽的图样。
有记忆的台球：根据台球的形状，球可能会以不同的概率被困在不同的位置。这些图显示了球最有可能落在的位置（明亮的颜色）和最不可能被困住的位置（深色）。（图/Physical Review Letters (2024). DOI: 10.1103/PhysRevLett.132.157101）
有趣的是，由此产生的动力学系统是混沌的。只要稍微改变球的起始位置或速度，它就会被困在台球上完全不同的位置上。此外，与在普通球台上发生的情况相反，这种自回避的台球最终落在任何地方的可能性并不相同，一些区域的可能性比其他区域更高。
无穷的应用
研究人员认为，这种“困住”是一个值得探索的概念。在真实系统中也是如此。例如，我们知道单细胞黏菌使用自回避路径，那它们也会被困住吗？当它们被困住时会发生什么？还是说它们有聪明的机制来避免这种情况的发生？他们会用它来增强捕食策略吗？新的研究结果可能有助于科学家理解这些生物体的复杂的运动模式。
研究人员表示，这一结果只是一个全新研究领域的第一步。它表明与这个理想化的台球游戏相关的不仅是许多未被解答的数学问题，它们还在物理学、生物物理学中有着无穷的应用。
#创作团队：
编译：小雨
排版：雯雯
#参考来源：
https://www.uva.nl/en/shared-content/subsites/institute-of-physics/en/news/2024/04/trapped-in-the-middle-billiards-with-memory.html?origin=kUP%2Byx6UTZqvuJiCJKnnEQ&cb
https://www.newscientist.com/article/2427433-particles-move-in-beautiful-patterns-when-they-have-spatial-memory/
https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.132.157101
#图片来源：
封面图&首图：Physical Review Letters (2024). DOI: 10.1103/PhysRevLett.132.157101