1827年，植物学家罗伯特·布朗在研究水中悬浮的花粉颗粒时，发现它们表现出一种随机的颤动运动。进一步的观察和实验表明，这种现象不仅限于花粉颗粒，其他小颗粒在水中悬浮时也会出现相同的运动。这种运动被认为是由某种非生物的因素引起的。这一发现引起了数学家的兴趣，他们基于这些观察结果发展了一套理论，用以描述这种颗粒运动的性质和规律。这套理论被称为布朗运动（Brownian Motion），以纪念罗伯特·布朗在这一领域的贡献。
布朗运动的理论，起初只是描述水中微小颗粒随机运动的现象，后来却发展成为数学领域中关于随机过程（Stochastic Processes）的一个重要分支。这个理论的影响达到顶峰是在1905年，那时爱因斯坦利用它来支持原子存在的假设。当时关于原子——宇宙中最小粒子的本质，科学界存在广泛的争议。爱因斯坦的工作利用布朗运动提供了关于原子存在的关键证据，这在科学上进一步强化了原子理论的基础。
这实在是科学上的一个巨大跨越！为了充分理解花粉颗粒的观察是如何引领我们确认原子理论的，首先需要对布朗运动有所了解。因此，计划在接下来的内容中详细介绍布朗运动的基本原理，包括其背后的统计学基础。此外，还将探讨爱因斯坦1905年发表的一系列具有深远影响的论文，这些论文对布朗运动的理解作出了重大贡献。整个讨论将覆盖从基础知识到更高层次的理论分析，展示了科学理论发展的深度和广度。
- 花粉的小颗粒形成了布朗运动的基础
随机花粉游动
在观察到花粉颗粒的颤动运动后，罗伯特·布朗进行了各种实验，并对他观察到的情况做了详细的记录。
解释布朗运动的复杂性可以通过简化到一个维度的数学模型来实现。设想自己站在一条无限长的直线上，手里有一枚硬币。每次抛硬币，根据结果是正面还是反面，你就向左或向右迈出一步，这两个方向的概率各占50%。通过重复这个动作，你会在这条直线上随机地移动。记录下每次移动后你相对于起始点的位置，可以用一个图表来表示，其中x轴代表你走过的步数，y轴显示你与起始点的距离。这个简单的示例有助于我们理解布朗运动这种更为复杂的随机运动模式的基础。
- 一维中的两个随机行走
在考虑这个随机行走模型时，数学上有一些有趣的点需要讨论。通常，抛掷硬币的结果会大致均匀分布在正面和反面，这暗示着按照这种方式随机行走，平均而言，人应该会保持在接近起始点的位置，因为左右移动的次数大致相等。但由于每一步都是完全随机的，所以实际上无法精确预测任何时刻的具体位置。
然而，仅仅考虑平均回到起点这一点可能对理解整个随机行走过程不够充分。因此，可以采用一种不同的方法来分析这个问题。如果我们把向左和向右的移动看作是相同的，并且只关注从起点计算的总移动距离，我们就可以用更高级的数学方法来得到更详细的结果。这种方法可以让我们从一个新的角度理解随机行走过程的本质，从而得到对这一随机现象更全面的认识。
- 一维布朗运动的一个结果
这个方程有点复杂，让我们来解释一下它的含义。我们的函数 D(n) 只是告诉我们距离中心（D）的距离，作为所走步数（n）的函数。对此，我们将左和右视为同一个方向。所以向左走五步与向右走五步被视为相同。如果我们不这样，那么方程的右边将是零，我们就得不到任何有用的东西。
方括号<>很关键。这代表我们正在计算的是一个期望值。期望值在统计学中非常重要，它代表在多次随机事件中某个特定量的平均水平。由于随机行走本质上是不可预测的，我们无法为单次事件给出精确的数学表达式。但是，我们可以确定在大量重复尝试的情况下，这个随机过程的平均结果是什么。这也被称为均方根平均距离。
方程右侧的结果可能会让人意外。考虑一个实例：进行一个涉及抛硬币决定方向并行走五步的实验，重复这个实验一百万次，每次都从中心出发，并且记录每次与出发点的距离。根据相关数学公式，这些实验的平均距离结果应该是行走步数（5步）的平方根，大约是2.2步。这种计算方法适用于任何行走步数，平均距离可通过计算步数的平方根来估算。这反映了在大量重复实验中，尽管每次实验结果可能差异很大，但平均来看，行走的距离与步数的平方根呈正比关系，这是随机行走特有的一种统计规律。
这一发现虽然引人入胜且可能与人们的直觉不太一致，但它基于一个非常理想化的假设。在这个假设中，每一步行走都被认为是完全随机且独立的，这种情况虽然有助于简化问题，但并不完全符合现实世界中更加复杂的情形，特别是在描述原子级别的现象时。因此，为了使这种模型更贴近于实际物理世界，特别是在原子理论方面，需要向模型中添加更多复杂的要素。
- 两维随机行走的25,000次迭代
多维度
当罗伯特·布朗最初注意到布朗运动这一现象时，他正在研究水面上漂浮的微小颗粒的行为。这些颗粒的运动似乎是完全随机的，当观察时间足够长时，它们的运动轨迹显得异常复杂和无序。不过，布朗观察到的花粉颗粒与仅在四个主要方向上移动的简单模型不同，它们实际上能够向任何方向移动。
可以从数学上证明，期望距离值也是 n 的平方根，就像在一维情况下一样。事实上，无论维数多少，期望距离始终是 n 的平方根。
- 三维随机行走的情况
在探索随机行走问题时，一个特别引人注目的方面是粒子回到其出发点的可能性。特别地，数学家们感兴趣于了解在随机移动的过程中，粒子最终返回其起始位置的概率是多少。乔治·波利亚在这方面做出了重要贡献，他证明了在二维空间中进行随机行走时，粒子最终返回其起点的概率非常高，几乎可以确定会发生。但是，情况在三维空间中有所不同，粒子回到起点的概率降至大约34%。并且，他还发现随着空间维度的增加，粒子回到其出发点的概率会进一步降低。有一个著名的引用很好地总结了这个结果：
一个醉汉会找到回家的路，但一个醉鸟可能永远迷失
我们现在有了一些数学公式来描述花粉颗粒中看到的这种随机运动。这些方程告诉我们很多关于“是什么”的信息，并提供了描述发生了什么的数学方法。然而，我们对“为什么”一无所知。我们通常会期望这些颗粒静止不动，或者最终由于摩擦而减速并停止。是什么导致了这种颤动运动？
- 原子的早期图示
原子的证明
这就是爱因斯坦出场的地方。通过一些巧妙的数学，他努力创造了一个预测布朗运动的方程。为此，他想象数百万个微小颗粒，也就是原子，撞击较大的花粉颗粒。他所采用的推理是相当抽象的，是他著名的“思想实验”之一的例子。在他的设定中，这些原子从各个方向撞击颗粒，但在每个时间间隔内，总会有某种不平衡使得较大的颗粒稍微移动一下。随着时间的推移，这种效应创造了布朗在花粉颗粒中观察到的颤动运动。
这个模拟展示了微观水分子全部撞击较大的花粉颗粒。左边，我们可以看到所有这些运动导致花粉颗粒缓慢移动。右边展示的是通过显微镜看到的情景，因为水分子太小了，看不见。看起来很像之前看到的颤动！
爱因斯坦从基本原理出发，思考了一个花粉颗粒在不断被原子撞击的情况下会移动多远。在他1905年的论文中，他得出了以下结论：
- 爱因斯坦的方程有助于证明原子的存在
这里，我们用 t 表示时间。常数 A 取决于花粉颗粒的大小和它悬浮的液体类型。注意到这个方程的结构与我们上面得到的随机行走方程非常相似。我们只需要考虑系统的一些物理特性。
当然，仅仅这个方程本身并不能证明原子的存在。它需要通过实验来验证。这项工作由物理学家让·佩兰在爱因斯坦的论文发表后不久进行，佩兰因其工作而获得了物理学诺贝尔奖。
- 佩兰记录布朗运动的笔记
使用布朗运动这样一个晦涩的现象，微小的微观原子的存在终于得到证明，解决了一个长达一个世纪的争论。