11、利用微分中值定理求极限
求解思路: 当极限式中包含有一个函数函数值的差的结构时，可以考虑使用拉格朗日中值定理改写差结果为函数的导数; 如果包含有两个函数函数值的差的比值结构时，可以考虑使用柯西中值定理改写差结果为函数的导数的比值; 然后基于夹逼准则来求相应极限式的极限.
练习: 求下列极限:
【参考解答】：(1) 由拉格朗日中值定理，有
于是由夹逼准则，知 ，所以
原 式
【注】对于数列极限问题可以基于海涅定理 (归结原则) 可以将数列极限的计算转换为函数的极限，即
(2) 取函数 ，则两个函数在 为端点构成的区间复合柯西中值定理的条件，于是由柯西中值定理，在 之间存在 ，使得
当 时， ，所以
12、应用洛必达法则求函数的极限
求解思路：(洛必达法则) (1) 如果 是 或 型，(2) 在 的某去心邻域内 都存在，且 ；(3) 存在(或为无穷大)，则
【注】特别注意检验洛必达法则应用前的前面两个条件，未定型与去心邻域内可导.
练习1: 求下列极限.
(2) 为正整数 .
【参考解答】: (1) 由等价无穷小 与洛必达法则，有
(2) 由海涅定理，极限转换为函数极限讨论，并由洛必达法则，有
【注】数列极限不能直接应用洛必达法则，需要转换为函数极限才能应用. 而其他大部分函数极限的运算法则，数列极限也可以应用.
练习2: 函数 在 上的拉格朗日中值公式为
其中 ，对于 ，求 .
【参考解答】：将 代入拉格朗日中值公式，得
解得 . 故由等价无穷小与洛必达法则，得
由 ，故得 .
13 、应用 Stolz 定理求数列的极限
求解思路: (Stolz 定理) 设有数列 : 如果 单调递增且 ，如果 ，或为 或 ，则
【注】平时的高等数学课程考试这个内容不做要求.
练习1: 若 ( 为有限数 ， 证明:
【参考证明】: 令 ，其中 严格单调增加，且
所以，由 Stolz 定理的结论，有
即所证结论成立.
练习2: 设数列 由下式确定:
0, a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}(n=1,2, \cdots), " data-formula-type="block-equation">
证明: .
【参考证明】：问题转换：一般带根号的问题不是很好计算，能够转换的尽可能去掉根号进行讨论。容易直接看出 是严格单调递增的正数列; 所以，问题的证明可以转换为证明
令 ，则 单调递增趋于正无穷大，且有
对于数列 ，如果它的极限存在，则由递推关系式，有
显然任何有限数都不可能。由于 是严格单调递增的正数列，必定数列 趋于正无穷大. 于是可得
所以由 Stolz 定理，有
即所证结论成立.
14、利用泰勒公式求指定点处的高阶导数值
求解思路：由泰勒公式的唯一性，有
得 ，故得
即通过将一个函数在所需计算高阶导数值的点展开，则依据泰勒公式的唯一性，通过将函数在该点处展开为指定阶的泰勒公式就可以得到该函数在该点处的任意阶导数值. 如果在展开式中不包括所求的导数的阶数项，则表示对应导数值等于 0.
练习: 将函数 按 的幕展开成带皮亚诺余项的 阶泰勒公式，并求 .
【参考解答】: 由 及
可得 在 处的泰勒公式
于是 ，所以
15、极限计算的泰勒公式法
求解思路：利用泰勒公式计算极限一般使用带佩亚诺余项的麦克劳林公式，
故一般要求代入麦克劳林公式里面的表达式是在极限变量变化过程中的无穷小量. 直接将极限式中不是幕函数的表达式用对应的带皮亚诺余项的麦克劳林公式替换，然后基于极限的运算法则求极限即可. 一般麦克劳林公式展开的阶数取为极限式中包含的幕函数的最高阶数即可，如果不包含，则一般尝试高阶的方式，知道函数利用麦克劳林公式替换运算时，保持有最低阶数表达式，而不仅仅包含的是高阶无穷小表达式.
练习: 利用麦克劳林公式求下列极限:
【参考解答】: (1) 由 , ，代入极限式，得
(2) 令 ，则 ，故
【注】因为 ，故展开到二阶麦克劳林公式.
16、利用泰勒公式来确定无穷小的阶
求解思路: 通过将 时的无穷小函数展开为关于 的带皮亚诺余项的泰勒公式，通过其包含的 项的最低次幕来确定 时的无穷小的阶数.
练习:设函数 ，若 与 在 时是等价无穷小，求 值.
【参考解答】: 由 的麦克劳林公式，有
由此可得
解以上等式构成的方程组，得
17、利用泰勒公式证明高阶导数中值命题
求解思路: 带拉格朗日余项的泰勒公式也称为泰勒中值定理，一般用于证明已知或结论中含有二阶及二阶导数、函数值、自变量值等项的等式或不等式命题. 用泰勒中值定理证明结论，一般展开的阶数为已知可导的阶数减 1 ，即已知函数三阶可导，则一般写函数的二阶带拉格朗日余项的泰勒公式来推导验证结论.
对于中值命题(等式、不等式)，一般在区间端点、中点展开，或者在已知了导数值的点展开，然后写出函数在端点、或中点、或已知函数值的位置泰勒公式等式；对于得到的展开式，要么直接验证得到结论；要么根据结论需求，对于得到的等式进行加减运算，消去无关项，得到可能的，应用于验证命题的结论.
练习1: 设函数 在 上二次可导，且
证明: .
【参考证明】：将函数在中点 处展开为一阶泰勒公式
其中 位于 之间. 分别代入端点的值，得
其中 .
其中 . 将上面两式相加，得
由于 ， ，故
练习2: 设 在 的邻域内具有三阶连续导数，且在邻域内 ，则在泰勒公式
中的 在 处可导， 且 .
【参考证明】：由于函数具有三阶连续导数，故有二阶带拉格朗日余项的泰勒公式
其中 位于 之间. 并且由 的拉格朗日中值定理 (0 阶泰勒公式)，对题设中等式中的 ，有
其中 位于 之间. 将其代入题设等式，并与二阶泰勒公式相减，整理得
取 的极限，并由三阶导函数的连续性，得
18、利用泰勒公式证明函数不等式
求解思路: 当需要证明的不等式通过移项整理后，一端表达式为多项式函数时，可以考虑将左端的函数表达式展开为带拉格朗日余项的麦克劳林公式来探索可能的证明过程.
练习: 证明不等式:
【参考证明】：(1) 由 ( 在 0 与 之间)，且 ， 直接得
1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}(x \neq 0) . " data-formula-type="block-equation">
(2) 令 ，则
且 ，故得 的二阶带拉格朗日余项的麦克劳林公式为
由于 ，故
即所证不等式成立.
19、利用泰勒公式证明函数或导函数结论
求解思路: 当所需要求解或验证的问题涉及到二阶及二阶以上的导数，而且结论与函数或导函数相关时，并且已知函数在一个区间上具有高阶导数时，可以考虑在区间上的任意点展开为泰勒公式 (即所谓的 “动点展开”) 来考虑问题可能的求解、验证思路.
对于得到的泰勒公式，要么直接验证得到结论，要么再根据已知条件，通过求特定点的函数值的方式消去不确定项的方法来探索可能的问题求解过程. 如果结论中仅仅包含函数与导函数，而不包括自变量符号，则一般取 ( 为常数，比如 1) 的方式直接构建它们之间的关系式.
练习1: 设当 时，有 . 证明: 对 ，有 .
【参考证明】: 对 ，有一阶泰勒公式
其中 位于 之间. 代入 得
其中 . 两式相减， 得
解出 并由绝对值不等式得
练习2: 设 在 内二阶可导，且 在 内有界. 证明: 在 内有界.
【参考证明】: 在任意 处的一阶泰勒公式为
其中 位于 之间. 令 ，则
其中 . 于是
由于 在 内有界，故存在正数 ，使得
综合两式可得
故 在 内有界.
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