5、利用拉格朗日中值定理证明中值不等式
求解思路: 由于一般应用拉格朗日中值来证明的中值等式命题也可以应用罗尔定理来证明，所以拉格朗日中值定理更多地是用来证明中值不等式相关的问题. 其证明的基本思路与验证中值等式基本一致. 适用的问题也是：条件或结论中包含有函数值、导数值，自变量的取值，尤其是包含有两个函数值的差结构，可以考虑应用拉格朗日中值来证明.
练习1: 设 , . 证明: 对任意的 , ，有
【参考证明】: 不妨设 ，则由拉格朗日中值定理，有
故原不等式成立.
练习2: 设函数 在 上具有二阶导数，且满足
\frac{1}{4}. " data-formula-type="block-equation">
证明：(1) 至少存在一点 ，使得 ；
(2) 若对一切 ，有 ，则当 时，恒有 .
【参考证明】: (1) 令 ，则由条件知
0, " data-formula-type="block-equation">
由拉格朗日中值定理，存在 和 ，使得
0, \\& F^{\prime}\left(a_{2}\right)=\frac{F(1)-F\left(\frac{1}{2}\right)}{1-\frac{1}{2}}=-2 F\left(\frac{1}{2}\right)<0.\end{aligned} " data-formula-type="block-equation">
再由拉格朗日中值定理，存在 ，使得
即存在一点 ， 使得 .
(2) 若存在 使得 ，则
又 ，所以由介值定理知，在 和 之间存在 ，使得 . 又 . 由罗尔定理，存在 , 使得 . 再由罗尔定理，存在 ，使得 ，即 ，此与已知条件 矛盾. 而当 时，则 ，又 ，故两次应用罗尔定理，可知存在 ，使得 ，即 ，同样与已知条件 矛盾. 综上可知，当 时，恒有 .
练习3: 设 ，证明:
【参考证明】：改写不等式，则原不等式等价于
于是令 ，则其在 上满足拉格朗日中值定理的条件，故由拉格朗日中值定理定理，有
由于 ，故所证不等式结论成立.
6、利用拉格朗日中值定理证明函数不等式
求解思路: 当一个函数不等式的表达式能够该写出一个函数在两个不同点的处的差值结构时，可以考虑应用拉格朗日中值转换为导函数形式，通过代入构成函数值差的两个变量，或者改写为其他可能的结构来验证所需验证的不等式.
练习1：证明不等式：
【参考证明】：令 ，则 在 上满足拉格朗日中值定理的条件，故由拉格朗日中值定理，在 上有
又因 ，故代入区间端点的值，得
从而得
7、利用拉格朗日中值定理研究函数的性态
求解思路: 若 在 上连续，在 内可导，则 ，至少存在一点 ，使得
也即 ，其中 位于 之间. 这样，基于定点函数值与函数的导数性质就可以研究函数的有关性质.
练习: 证明: 若 在 上可导且无界，则在 上 也无界，但反之不成立.
【参考证明】: 反证法. 假设 在 上有界，即
0, \forall x \in(a, b),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M. " data-formula-type="block-equation">
设 为一定点，则对 ，由拉格朗日中值定理，有
其中 位于 之间. 进一步可得
即 在 上有界，与已知矛盾，故假设不成立. 即 在 上无界.
但 在 上无界不一定有 在 无界. 比如:
8、利用柯西中值定理证明中值等式
求解思路：(柯西中值定理) 若 在 上连续，在 内可导且 ，则至少存在一点 使得
如果需要证明的中值等式中不含中值的部分可以表示成两个不同函数在两点的函数值的差的比值，即 ，右边也正好可以写成这样两个函数在同一个中值点的导数的比值，则对于这类问题可以考虑使用柯西中值定理来推导验证.
练习：试证至少存在一点 ，使得
【参考证明】:【法 1】柯西中值定理. 改写中值等式，有
构造辅助函数
则两函数在 上满足柯西中值定理的条件，于是由柯西中值定理，得
整理得所需验证的等式.
【法 2】罗尔定理. 令 ，则函数区间 连续，在 上可导, 且
即满足罗尔定理条件，故由罗尔定理知，至少存在一点 ，使得
即 .
9、利用柯西中值定理证明函数不等式
求解思路: 当一个函数不等式的表达式能够该写出两个函数在两个不同点的处的差值的比值结构时，可以考虑应用柯西中值转换为两个函数的导函数的比值形式，通过代入构成函数值差的两个变量，或者改写为其他可能的结构来验证所需验证的不等式.
练习：证明：当 时，成立不等式
\sqrt{1+x^{2}}. " data-formula-type="block-equation">
【参考证明】:【法 1】根据不等式结构，改写不定式，有
\frac{1}{x}. " data-formula-type="block-equation">
构造辅助函数
其中 . 函数 在区间 上满足柯西中值定理的条件，故存在 ，使得
\frac{1}{x} .\end{aligned} " data-formula-type="block-equation">
其中 .
【法 2】把所有相关项移到左侧，令
则 ， 且
从而可知，当 时， ，故函数单调增加，即 ，所以原不等式成立.
10、多中值等式与不等式的证明
求解思路:对于包含有两个及以上中值的等式，将不同的中值相关的式子各自移到一侧，然后基于介值定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理、或柯西中值定理，通过表达式的结构分析，对比各中值定理可能出现的结果表达式，组合各表达式结果得到多个中值进行证明.
练习1: 设 在 上连续，在 内可微，且 . 证明: 存在 ，使得
【参考证明】：改写中值等式，有
则由拉格朗日中值定理，有
对函数 应用柯西中值定理，得
将拉格朗日中值定理的等式代入，即得结论成立.
练习2：设函数 在 上连续，在 内可导， . 证明:
(1) 存在 ，使得
(2) 存在 ，使得
【参考证明】：(1) 改写中值等式，得
故令 , ，则两函数在区间 上满足柯西定理的条件，故由柯西中值定理知，存在 ，使得
整理即得所需验证的等式.
(2) 由拉格朗日中值定理，存在 ，使得
问题归结为证明
则对函数 应用柯西中值定理，有
即结论成立.
练习3: 设函数 在 上连续，在 内可微，且 ，证明存在 ，使得 .
【参考证明】：由柯西中值定理知，存在 ，使得
又由拉格朗日中值定理知，存在 ，使得
从而
取 ，因为 ，则有 成立.
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