矛盾的价值——在有理数的框架里无法理解无理数

无理数可以说是中学最为难以理解的一个概念了，除非是采用“顺应”的方式不求甚解地直接接受这个概念。在以“顺应”为主要方式编排的课程中的实际学习很难有学生主动发现“无理数”。

几乎所有的老师都会讲述勾股定理和无理数产生的关系，甚至还会讲述一段悲惨的科学故事。我们知道在毕达哥拉斯学派“万物皆数”的思想之下，连续的直线是可以被“有理数”排满的，这有点像现在实数的连续统概念。就像小学生孩子无法理解一段线无法说出其精确长度一样，当时的人们无法认识到会有直线无法用某个“刻度”测量，他们认为直线是可以用任何一个“刻度”（比如英尺、米）测量的。

直到有一天希伯修斯发现一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的，也就是说他发现无法对角线与边长的比值无法用“有理数”（当时还统称为数）表示出来，或者说无法用边长作为“刻度”测量对角线。对于已经接受了“无理数”的人来说，在没有经过无理数“同化”的过程的时候，也难以理解什么是“不公度”。

当时刚刚发现了勾股定理，毕达哥拉斯学派的希伯修斯就尝试着使用其进行一些推理。假设边长为 1 的正方形，它的斜边肯定有长度，也应该是一个数字，当时所有的数都被认为是有理数，是可公度的，也就是说可以写成比值的形式。不妨设斜边长度为m/n（m、n为不为零的整数，m、n互质），按照勾股定理我们可以得到矛盾，大概论证如下（有耐心的可以重温一下）：

（m/n）^2=根号2 ^2 =2
所以 m^2/n^2=2
所以 m^2=2*n^2
所以 m^2是偶数，m=2k（k是整数）
所以 m^2=4k^2=2n^2
所以 n^2=2k^2
所以 n是偶数
因为 m、n互质
所以矛盾，即这个数字是不可公约的，所以不是有理数。

这个证明好像很简单，但是对于当时认知局限在“有理数”的人来说却非常难以理解，在实际生活中也很难发现无理数的存在，毕竟有理数已经足够用了。不是有理数，“它”是谁呢？

希伯修斯在逻辑推理中发现了“冲突”和“矛盾”，这种矛盾在有理数的框架内是无法解决的，所以长期以来在学界对于这种“不可公约”的数字非常困惑，不可公约的两个数的比值一直被认为是不可理喻的值，15 世界达芬奇称之为“无理的数”，17 世纪开普勒称之为“不可名状”的。

发现无理数的存在让锡伯修斯付出了生命的代价，认识无理数更是经历了两千年的时间。无理数为何如此难以认识呢？

这主要是现实中主要是“有理数”，即便是有些许不精确也常常用误差来解释。无理数本身就非常难以在现实中被直接发现。锡伯修斯也是在利用勾股定理发现了矛盾和冲突，发现了有别于有理数的其他“可疑物”。这个物被真正认识和广泛接受，花了两千多年时间。

我们从认识和思维的角度来看，冲突和矛盾，往往是发现新事物的关键所在。但是按照现有框架往往无法解决这些“冲突和矛盾”，更无法诞生新事物。可见新生事物的诞生注定需要经历波折，只是现在各种论证方法都比较成熟了，对新生事物的接受度也不像“无理数”那么低了。甚至人们一直认为现有框架是不完美的，总希望发现冲突和矛盾来改善或者扩张现有框架。

正是这种观念，让人们发现了创新的魅力和对世界发展的强大推动力。有时候颠覆现有框架并不是一件坏的事情，数学世界的每一次大的发展都是一次数学框架的颠覆。

要想拥有创新能力，需要时刻关注学习和认识过程中的各种“冲突和矛盾”，一双善于发现矛盾的眼睛是拥有创新能力的必要条件。但是，矛盾的发现并不是那么容易的，并不是简简单单的“质疑精神”就能够解决的，这需要方法，否则无理数也不会长期被人们所忽视，那么这些人包括毕达哥拉斯这样的数学家。

发现矛盾的方法，除了我们熟知的实践之外，那就是逻辑推理了，缺乏逻辑推理的人并不是说缺乏创新能力，但是注定有些“矛盾”是无法发现的，也注定有些领域的创新是无法做出成就的。

作者：虹野

编辑：虹野

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