一、函数极限的定义
1、函数自变量有六种可能的变化过程，与自变量的六种变化过程相对应有六种极限定义 .
2、注意极限的存在性只与去心邻域的变量取值有关，因为考虑极限存在性与相关的性质时，只需考虑邻域内函数的取值与变化 .
3、在x → + ∞， - ∞，∞三种定义中只要一个极限存在，就表示曲线有自变量趋于相应无穷大的水平渐近线方程y=极限值；即只要一个极限存在，就说明曲线有水平渐近线，由此可得，曲线可能有的水平渐近线条数为0，1，2。
二、用极限定义证明极限的统一思路与步骤
用极限定义证明极限存在并且等于给定数值的统一思想，就是通过适当放大不等式 |f(x)-a| ，使其具有定义中的 “当” 中不等式包含变量一侧的表达式 (记作g(x)，其可能形式为x，|x|，x-x0，|x-x0|) 的函数结构|f(x)-a|，然后解该式小于 ε 的、关于 g(x) 不等式，使得不等式的结果为 g(x) 与 “当” 中不等式一致结构的描述形式，则不等式一侧关于 ε 的表达式就是需要证明的“存在”值的表达式，如 X ，δ .
如果这样的过程可以实现，则说明放大过程有效，极限存在就等于给定的值，并且所需要验证的 “存在” 的值，也就等于得到的关于 g(x) 的不等式另一侧的表达式 .
(1)注意结合变量本身的取值可能的有效范围一起考虑，并将其限定范围描述为 g(x) 的描述形式，如课件中二（例2）的验证过程.
(2)可将 ε 的范围限制在小于某一正数，比如 0<ε<1 的范围内讨论 .
(3)直接将变量取值范围限制某一去心邻域范围内放大绝对值表达式，如x → 2 ，可直接限定讨论范围为不包含 2 的区间范围 [1,3] ，甚至更小范围； x → + ∞，可以直接在 x>n0 的范围内讨论等 .
三、函数极限的基本性质
极限的基本性质即看到极限存在、或者讨论相关极限问题时，应该能够直接写出的结论，或者需要满足的结论.
1、极限存在的充要条件是左右极限存在并且相等
2、唯一性、局部有界限、保号性以及变形描述
四、基本初等函数的极限
应用定义可以直接证明基本初等函数，如常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，自变量趋于定义域内的点的极限值就等于函数值
对于这些结论是依据函数极限运算法则计算函数极限的基础 . 有几个趋于无穷大的极限结论必须牢记，它们和一些分段函数一样，常用来举例说明一些问题，或直接的得到一些结论：
当a>0时，
当0
对于反正切函数，有
五、函数极限的四则运算法则
(1)特别注意参与运算的函数是同一变化过程中极限都存在
(2)作为分母的函数在去心邻域内函数值和极限值都不能等于零
(3)乘以一个非零常数不改变函数的敛散性
(4)参与运算的函数个数为有限个
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