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由一道中考压轴题的“死胡同”解法引发的教学思考------谈中考角平分线复习策略
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最近上了一节中考压轴题的解题课，课中发现很多学生对这道题的最后一问出现了同一种“死胡同”解法。由此引发了笔者的教学思考。整理如下与读者交流，供批评指正。
中考原题呈现
（2019年连云港中考数学26)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：过点C(0，﹣3)，与抛物线L2：的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、抛物线L2上的动点．
（1）求抛物线L1对应的函数表达式；
（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；
（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出点Q的坐标．
解题障碍归因
绝大多数学生易由求得A(2，-3)，将A点和C点坐标代入抛物线L1：,易求得L1：。第二问与第三问不相关，在此不作讨论。很多同学对第三问的解答是基于如右图所示的辅助线进行解答的，下面是笔者整理的常见的两种思路：
过点C作射线交L1于点P，作射线CP关于CA的对称射线，与L2交点为R，过点A分别作射线CP、CR的垂线，垂足为点M、点N.
设直线CP的方程为：，则CR的方程为：
思路一：的角平分线.
又
由点到直线的距离公式可得：
整理得：，
发现这是一个恒等式.
思路二：设点M的坐标，点N的坐标为，由平面上两点间的距离公式得：
由，整理可得：
CA平行于X轴，由对称性可知，
所以又得到以上恒等式.
上述思路一的解答用到了点到直线的距离公式，思路二用了平面上两点间的距离公式.实际上，这两个公式是相通的（都可由勾股定理推导而来），只要是基于图1的情形答题，不管用哪个公式都是“殊途同归”。学生对图1“情有独钟”是因为学生在学习角平分线的性质定理和判定定理时，对这一基本图形非常熟悉，使学生形成了思维定式。学生解到本题的第三问想当然的构造这一基本图形，在解答遇到障碍时“像无头的苍蝇到处撞”，没有想到可能是“源头”出现了问题，总之就是在图1的基础上转来转去，找不到另一条不同的转化角平分线的出路。
正确解答探究
如图2，过点C作射线交L1于点P，作射线CP关于CA的对称射线，与L2交点为R，延长CA，过点P作交CA于点D，交射线L2于点B。由ASA可证.
设,则
又,
方法二：转化相等角，构造相似三角形
如图3，过点P，R分别作y轴的垂线，垂足分别为S,T，由，
易证∠3=∠4，.
设,则,
又,
设,则,
又,
整理得：
又
同方法一可以求出点Q的坐标
方法三：利用角相等，三角函数值相等
如图4，过点P、点R分别作AC的垂线，垂足分别为D，I.
设，.,,,
由tan，得：
整理得：
又
同方法一可以求出点Q的坐标
中考复习策略
（1）、整合教材，促进知识的深度融合
教师除了按照教材原有的章节体系引导学生复习角平分线的基础知识（定义，角平分线的性质定理，角平分线的判定定理），更应该从整体上把握教材，将角平分线知识融入到基本几何位置关系（平行，垂直）当中去；将角平分线融入到基本几何图形（三角形，平行四边形，筝形，圆，轴对称图形）当中去；将角平分线融入到图形的变换（平移，折叠，旋转）当中去；将角平分线融入到全等三角形，相似三角形当中去。进行知识的深度融合有助于培养学生的解决问题的能力，有助于培养学生的创新思维能力，教师在备课时应该充分注意到这一点。
（2）、补充教材，完善知识的网络体系
《义务教育数学课程标准（2011年版本）》课标中要求学生掌握角是轴对称图形，而教材中对落实这一标准的呈现稍有不足。因此，教师应该结合课标，适当补充教材，完善学生的知识网络体系。可以设计相关专题来引导学生将这一知识拓展和提升。每一个专题中可设置三个环节，首先引导学生认识基本图形，然后直接应用基本图形解决问题，最后让学生在实际情境中构造基本图形解决问题。比如在解决此文中考题的最后一问的过程中若遇到图1所示的障碍，会想到将角平分线的知识与轴对称图形，等腰三角形的相关知识相结合，继而找到本题的突破口。