话说，费马同志在创造出解析几何这个全新工具以后，也从未改变自己在数学方面的研究习惯。他仍然不怎么出去应酬，也不怎么把加官进爵作为奋斗目标，他仍然活在自己创建的数学世界里，默默钻研，耕耘着。如此有节制的生活，让他灿烂的结果尤为不停止。
费马大法官
费马素数猜想
比如，他毕生都在数论这个研究领域孜孜不倦，甚至有许多数学史专家认为，费马创立了现代数论。他就特别喜欢摆弄数字，然后从这一堆数字里推测其中隐藏的奥秘。还记得那个让25岁欧拉一举解决的费马数难题吗？1640年，39岁的费马发现下面这几个同样形式的数字：
费马素数猜想
这里的F0到F4都是素数，费马太相信自己在数学方面的直觉了，于是就判定，凡是满足这种形式的数字都是素数。由于接下来的F5实在太大，在一百多年时间里都没人验算或证明。直到欧拉以巧夺天工的手法切割分解了F5=4294967297=641×6700417，也就宣告了费马对于素数的这个猜想不成立。有意思的是再后来人们就再也没有发现新的费马素数了，也就是说费马实在太走运了，费马素数有且仅有费马本人发现的那几个，真是很有意思。虽然费马的这个关于素数的猜想是错误的，但是却一点也不影响着费马在数论领域的地位，事实上，一个能犯这样伟大错误的人也是相当不简单的，费马仍然是那个潜伏在律师队伍里的高高手。
相亲数
在文艺复兴以前，古希腊一直都是世界数学中心，在那片神奇的土地上发现的许多数学成就一直深深影响着后世所有的数学家。比如他们喜欢去找各种各样神奇的数字。完全数：一个数的真约数之和等于其自身。6=1+2+3,28=1+2+4+7+14等等；相亲数：两个数的真约数之和等于对方，第一对相亲数是220和284，是相亲数诞生之初就找到的，1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110=284，l＋2＋4＋71＋142＝220；
相亲数 挂饰
这对数字看起来相当有趣，仿佛你中有我，我中有你，实在是爱情的绝佳表达。220和284早已发现，但是这第二对相亲数却是耗费了相当长的时间，1636年，费马在历史上第二次给出了崭新的相亲数，17296和18416。前后两对相亲数发现的时间居然间隔了2000多年，实在是太过夸张了。费马在17世纪，自己单枪匹马，并且独立发现了这个古老的数字，功劳的确不小，他也掀起了相亲数研究的热潮。在费马之后，笛卡尔，欧拉等大神都陆续在这方面继续探索。
当然事实上，第二小的相亲数却不是费马找到的那个，而是1866年，年方16岁的意大利青年巴格尼尼，发现1184和1210也是一对相亲数。值得一提的是，这对第二小的相亲数接连从费马，笛卡尔，欧拉这些超级大神手中溜走，实在是太过幸运，而这也是科学史上最著名的捡漏事件之一。这位意大利青年也因为这个成就，永远记录在数学史册上了。
笛卡尔
前面说到，费马这个人平时没什么爱好，也不喜欢出去应酬，为了自己仕途而奔波，在职场表现相当佛系。那他下班之后都做些什么呢？就是自己一个人琢磨一些有意思的题目，有的时候自己玩玩数字，把计算当做一种生活乐趣，比如他前面找相亲数的那个过程，在没有相亲数公式之前，他居然可以一直计算到五位数，这个工作量真心不小。不过晓然菌想，费马一定不会觉得这个过程很无聊。
古希腊的文明典籍曾经毁于一旦
他尤其爱钻研那些先贤们残存下来的经典，这里指的基本上都是古希腊诸位大师们的著作。想当年，古希腊最重要的图书馆——亚历山大图书馆。这里藏书极为丰富，涵盖了哲学、诗歌、文学、医学、宗教、伦理和其他科学著述和孤本，总数在70万卷以上。甚至可以这么说，这座空前的图书馆几乎聚集了当时人类所有的知识精华，是人类文明的最高代表。亚历山大图书馆迅速成为当时的科学、文化、哲学、艺术的知识宝图书馆库与传播站，并持续数百年。
亚历山大图书馆内部想象图
然而天有不测风云，在7世纪时，亚历山大图书馆却遭遇了灭顶之灾，图书馆被当时横跨欧亚非三大洲的拜占庭帝国皇帝下令，把任何与《古兰经》相同的和不同的书籍都毁掉。你说这叫什么命令，干脆直接说烧掉整个图书馆算了，在这位昏庸无知的统治者的命令下，所有的馆藏图书都被提供给了城里约4000个澡堂做燃料，足足烧了6个月之久！
亚历山大图书馆 现在建筑
这样一场浩劫，使得古希腊的璀璨的文明记载几乎毁于一旦。后来的人们好不容易开始恢复这些烧掉了的这些然而这还没完，文艺复兴时期，阿拉伯帝国为了筹措资金与十字军战斗，不惜变卖了馆内超过200万册的图书来充当军饷！这是什么样子的统治者才能干出这种事。
虽然很痛心疾首，但是这个古代最伟大的图书馆终究是被毁了。许多著作失传，也有很多科学家，哲学家仅仅只是留下名字而已，生平事迹再也没人知道了。
欧几里得 著作流失严重
比如古希腊的欧几里得大师，他一生著书无数，然而流传下来的只有《几何原理》和另外一本几何著作《已知数》，其他作品全部失传。这些失传了的作品里肯定还有相当辉煌的成就，可惜就这样湮没在历史洪流之中了。再比如古希腊著名数学家丢番图，几乎就只流传了一部《算术》，其余作品早已不复存在。
拜占庭帝国首都 君士坦丁堡
曾经有人评价到，在古希腊文明没落之后，人类总共花了将近2000年才逐步把失去的希腊数学全部找回来！费马就是最后一批找回古希腊数学的人。
费马通过《算术》给出费马大定理
1637年，费马在钻研丢番图的《算术》一书，这本书是拉丁文译本，不过对于语言天才费马来说，阅读起来毫不费力。他如饥似渴地汲取着这里面被人遗忘了的数学经典中的营养，然而他在阅读到第11卷第8题时停下了。
丢番图的《算术》
费马读书的时候有个不好不坏的习惯，在遇到自己感兴趣的章节，就会不自觉地在这些地方留下自己的注记，你说解答方法也好，说随手涂抹也罢。可能费马自己不觉得有什么特别之处，可是这里有一个注记却让整个数学界忙活了350多年！
回到费马专心研究丢番图的《算术》一书上来，这部著作是丢番图一生最重要的创造，后来的许多学者认为这部书可以与《几何原本》相媲美。在这部书里，丢番图仔细探讨了许多关于方程的问题，尤其是重点探讨了形如
丢番图探讨过的方程
丢番图探讨了，n=1,n=2,n=-1,k=-2等几种情况。突然，费马同志灵光一现，他令人动容地察觉到，如果这里的k大于等于3时，该方程还有没有整数解呢？于是费马自信满满地写下在这本拉丁文译本的《算术》书第11卷第8题空白处写下：
“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”
上面的第一句话，就是举世闻名的费马大定理，当然在这个还没有确切证明的年代就把这一一个猜想叫作定理是不严谨的，这个应该叫作费马猜想。但是考虑到费马这位神人在数学上给出的猜想基本上都是对的，除了那个关于费马素数的猜想错的离谱以外。而人们之所以愿意相信这个命题成立的根本原因是他的后一段话“我发现了一种美妙证法，但是这里空白太小，写不下。”
费马曾经给出的注记
其实如果是在数学上有一般水平的普通人，是根本不敢做出如此判断来的，因为当k=2时，上面的那个方程的解就是勾股数，自然是有无数组解的。你凭什么就那么坚信k=3时永远找不到整数解呢？自信来自哪里呢，难道是神来之自信么？
在费马那个时代很多人受到这后半句话的蛊惑，以为这里充其量只是一道可以用来跟别人PK的数学题目而已，并不是什么太过高深的难题，毕竟这个题目看起来是如此地简单明了。普通人理解起来也不会有任何难度，可是还是有人准备逐步试探这个猜想正确性如何，他们做的工作真心不少。因为这个方程里有4个未知数，而且涉及到开方运算，在用纸笔的时代还是相当繁琐的。
费马
可是人们真的发现不管怎么找，就是找不到可以满足上述等式的正整数，唯一接近等式成立的式子是下面这个。
差点成为费马大定理反例的等式
为什么就不能两边相等呢？偏偏要相差1，真是太遗憾了！在经历相当多的验算之后，人们越来越灰心丧气，都开始放弃了手动验算来找反例，转而开始从理论上证明这个猜想了。
人们起初根本就没把这个猜想放在心上，历史上许多有相当成就的数学大师们心想，费马都可以认为已经找到了一种美妙解法，我为什么就不行呢？费马最后猜想一定没有这么难，、。本来心态好是一个很好的事情，但是错误估计了一个问题的难度，却会让这份良好心态遭受到连绵不绝地打击。于是我们就看到了下面在费马大定理的猜想上人们艰难做出的成就。
费马大定理就是这么简约而迷人
费马大定理理论证明太过困难
在1637年，费马提出这个大猜想之后，人们就开始准备从理论上进行攻克。可惜啊，这道看似无比简单的敏体确实如此深刻，深刻到什么地步呢？直到1753年，欧拉勉强证明出n=3时，费马大定理成立。欧拉用的方法叫作“无穷递降法”，巧合的是，费马本人证明了n=4的情况，他也用到了无穷递降法。
看起来，这种方法仿佛相当起作用，那什么是无穷递降法呢？就是先推导在一般情况下结论成立，然后一步步回推，直到推导出最初的条件就不满足，从而得出原命题不成立。所以从本质上看，无穷递降法是另一种反证法。下面我们来用无穷递降法证明一个经典的结论。
无穷递降法的简单应用
当然，欧拉使用的无穷递降法不可能像上面的那样简单极致的样子，据说欧拉大神的方法逻辑极度复杂。否则，数学界也不可能一百多年了才憋出这样一个看似不太美丽的证法。
表面上，人们已经证明了n=3,4大定理成立，是不是像普通题目一样，可以采用数学归纳法来证明到最后呢？看起来很美好，但是实际上根本没有可能性。1816年，巴黎科学院把费马大定理的求证简化到对所有奇素数成立即可，并且设置了大奖和荣誉给与证明者。所谓重赏之下，必有勇夫。从此费马大定理走上世界舞台。
费马大定理的第一个成就也是欧拉做的
一直到1850年，几乎每隔几年就会有新的成果出现，在这里有自学成才的女数学家热尔曼，她证明了：当n和2n+1都是素数时费马大定理的反例x，y，z至少有一个是n整倍数。1844年，库默尔甚至证明了n等于100以内的所有素数时，费马大定理均成立。当然在这里也出现了许多乌龙事件，1847年，巴黎科学院的拉梅和柯西均宣称自己独立证明了费马大定理，可是经过后来的人们审查，他们都犯了同样一个错误。就是实数系内的唯一因子分解定理，在复数系内不一定成立。这一条真的具有很强的迷惑性，这两位大师均在这上面入坑也实在是稀奇，后来柯西拉梅又都撤回了自己的证明论文。
费马大定理重要贡献者 热尔曼
费马大定理还能救命
时间来到20世纪初，费马大定理又起波澜，发生了一件非常励志的故事。1908年，在德国有个叫沃尔夫斯凯尔的年轻企业家做干实业挣了很多钱，妥妥的高富帅，酷爱数学。在正直青年的小伙子自然逃不过这爱情的挣扎啊，斯凯尔死心塌地地爱上了一位姑娘。于是他一个劲地向这位姑娘表白，不过斯凯尔先生事业得意，可是情场却相当不如意。这位姑娘不为所动，并且勇敢地拒绝了他。这下还得了，这小伙子事业有成，年轻有为，唯独忍受不了的就是失恋的打击。他竟然想不开，要去为情自杀。
关键时候费马大定理还能救命
这位小伙子果然是一个做事有始有终的人，就连自杀都得列个计划，按步进行。他准备在某一天的凌晨开枪终结自己，在给自己定的最后一天里，他先后处吩咐好自己的后事，并且挨个给自己的好朋友写诀别信。在处理完了所有事情之后，才晚上10点啊，不到自己终结的那个时候，要不找点事情干干，打发一下这生命的最后两个小时。
柯西也研究过费马大定理
于是小伙子就翻到了一本数学期刊，随手打开其中一页，这一页刊登的是库默尔的一篇论文，在这篇文章里，库默尔详细解释了为什么当年柯西和拉梅关于费马大定理的证明错在哪儿了。斯凯尔的数学水平着实不低，他就根据库默尔的思路去尝试着理解着论文。不过很快，沃尔夫就发现了库默尔论文的一个漏洞，直觉上他觉得以自己的水平可以弥补上这个漏洞。于是斯凯尔开始奋笔疾书，重新验算，在经过层层验算推理之后，他完全忘记了今夜的使命。等到他最终解决了这个漏洞之后，抬眼一瞧，天已经亮了。
库默尔
自己就这样沉浸在数学世界里，经过这一夜的奋斗，他也庆幸自己意识到，那个要为爱自杀的决定是多么愚蠢啊，在数学的世界里探索是一件多么动人的事情。数学拯救了他的生命。
他烧毁了所有的诀别信，并且修改了遗嘱，他把自己的全部财产，约10万马克，大约相当于现在的200万美元捐给了哥廷根皇家科学院，设立一个奖，奖励给第一个破解了费马大定理的数学家，期限为100年，直到2007年截止。
哥廷根大学
至此，费马大定理的解决，正式走上最后的快车道，与哥德巴赫猜想并驾齐驱，几乎每隔几年就会有新的成果出现。直到后来，英国数学家怀尔斯在1995年彻底解决了费马大定理，也领走了这10万马克。
我们的费马同志啊，300多年前是什么来自天外的灵感让你信手写下那一段不起眼的话“这里空白太小，写不下。”你那缺失的空白，无数人奋斗了终生才终于完满。费马大定理的出现极大地激发了人们在数论这一领域上的兴趣，人们总是对这些看起来毫无作用的数字游戏产生了深深地痴迷。迷离在哪儿呢？
费马大定理的终结者 怀尔斯爵士
晓然菌觉得，这些看似简单的整数排列组合，表面上看没有任何技术含量，十个人都可以去理解。但是这些数字游戏一旦上升到逻辑推理的程度，便立马露出狰狞面孔来。别说普通人根本不知从何分析，就是顶尖的数论专家对待某些问题时，也要三思而后行，甚至集结全世界所有的头脑，也要折腾个几百年才有所成！有些人说这样做的意义何在？
呵呵，能让全人类奋起努力去解决的难题，难道这不就是它的意义吗？